Arhiv Značk: posebna teorija relativnosti

PTR v srednji šoli(12)

Objavljeno ,

Nazaj

Zadnjič smo izpeljali izraz kinetično energijo v PTR, dobili smo

    \[W_k=m_oc^2(\gamma-1).\]

Pri majhnih hitrostih mora ta formula preiti v običajno formulo za kinetično energijo, katero poznamo že iz osnovne šole. Poglejmo, kako.

    \[W_k=m_oc^2(\gamma-1)=m_oc^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)=m_oc^2\left(\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}-1\right)\]

Koren razvijemo v binomsko vrsto. Kako? Spomnimo se na binomski izrek, ki pove, kako izračunamo potenco dvočlenika

    \[(a+b)^n={n \choose 0} a^nb^0+{n \choose 1} a^{n-1}b^1+{n \choose 2} a^{n-2}b^2+\dots {n \choose n} a^ob^n\]

V prejšnjih primerih je bil n naravno število in izraz na desni veččlenik. Tokrat pa imamo v eksponentu -1/2 , zato bo členov neskončno – binomska vrsta. A potrebujemo le nekaj členov. Izračunajmo nekaj začetnih binomskih simbolov (spomnimo se tudi na njihove lastnosti)

    \[{-\frac{1}{2} \choose 0}=1,~~{-\frac{1}{2} \choose 1}=-\frac{1}{2},~~{-\frac{1}{2} \choose 2}=\frac{-\frac{1}{2}\left( -\frac{3}{2}\right)}{1\cdot 2}=\frac{3}{8},\dots\]

Sestavimo torej v zgornjem izrazu  vrsto

    \[W_k=m_oc^2(\gamma-1)=m_oc^2\left(1+\frac{1v^2}{2c^2}+\frac{3v^4}{8c^4}+\dots -1\right)\]

Matematik je svoje delo opravil, sedaj pa nastopi fizik. Ker je

    \[v<<c,\]

lahko v napisani vrsti vse člene od vključno tretjega naprej zanemarimo, saj so premajhni, da bi kaj bistvenega prispevali.  Prvi in zadnji člen v oklepaju se še odštejeta, tako da ostane samo drugi. Dobimo torej

    \[W_k=\frac{m_ov^2}{2},\]

kar smo tudi pričakovali.

konec

NAZAJ, NA ZAČETEK

PTR v srednji šoli (11)

Objavljeno ,

Poglejmo še, kako je v PTR z delom in energijo. Najprej ugotovimo, da 2. Newtonov zakon v obliki

    \[\vec{F}=m\vec{a}\]

ne velja,  saj  masa telesa ni stalna, temveč odvisna  od hitrosti. Zapisati ga moramo  takole

    \[\vec{F}=\frac{d\vec{G}}{dt},\]

pri čemer je

    \[\vec{G}=m\vec{v}\]

gibalna količina telesa.  Delo, ki ga opravi ta sila, je torej enako

    \[A=\int_{x_1}^{x_2}{F(x)dx}=\int_{x_1}^{x_2}{\frac{dG}{dt}dx}=\int_{G_1}^{G_2}{vdG}\]

 Pozabavajmo se  najprej z nedeločeni integralom – integrandu poiščimo primitivno funkcijo. Integrala se najprej lotimo “per partes”

    \[\int{vdG}=vG-\int{Gdv}=vG-m_o\int{\frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}},\]

nato pa uvedemo novo spremenljivko

    \[1-\frac{v^2}{c^2}=u.\]

Dobimo, da je zadnji integral enak

    \[m_o\int{\frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}=-m_oc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},\]

kar skupaj da iskano funkcijo

    \[\int{vdG}=\frac{m_ov^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+m_oc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{m_o(v^2+c^2-v^2)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}})}=mc^2.\]

Delo je torej enako spremembi zgornje funkcije

    \[A=\int_{G_1}^{G_2}{vdG}=(m_2-m_1)c^2.\]

Iz fizike pa poznamo izrek o mehanski energiji: Delo je enako spremembi mehanske  energije telesa.  Zato  prepoznamo v zgornji funkciji energijo telesa:

    \[W=mc^2~~~~(1)\]

Telo, ki miruje,  ima torej mirovno ali lastno  energijo

    \[W_o=m_oc^2~~~~(2)\]

Enačba (1) je najbrž najslavnejša fizikalna enačba. O njej poje celo pesem  J. Menarta:

Oda od, balada balad, E=mc².

Enačba (2) pa daje odgovor na pomembno vprašanje: Kaj je masa? V obrazcu vidimo, da je masa energija, deljena s kvadratom konstante, torej (zelo zgoščena) energija.

Polno energijo delca W  definiramo kot vsoto njegove lastne in kinetične energije, torej

    \[W=W_o+W_k.\]

Od tod dobimo za kinetično energijo naslednji izraz

    \[W_k=W-W_o=mc^2-m_oc^2=m_oc^2(\gamma-1).\]

Pri tem je seveda \gamma relativistični faktor, omenjen v prejšnjih poglavjih.j

NAZAJ NAPREJ

PTR v srednji šoli(10)

Objavljeno ,

povečanje mase

Zadnjič smo ugotovili, da so dogodki, kot jih izmerita postajenačelnik in sprevodnik, štiri razsežni vektorji v prostoru-času. Če upoštevamo, da se koordinati y in z, ki sta prečni na gibanje vlaka, ne spreminjata, zadošča, da pišemo samo dvorazsežne vektorje, torej

    \[\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}\]

     in    

    \[\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\end{bmatrix}\]

Tudi druge količine nastopajo v PTR v parih. Hitrost,  kot jo izmeri postajenačelnik, je npr. odvod dogodka po času, torej

    \[\begin{bmatrix}\dot{ct}\\\dot{x}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\\v\end{bmatrix}\]

      in    

    \[\begin{bmatrix}\dot{ct^\prime}\\\dot{x^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\\v^\prime\end{bmatrix}.\]

Ravno tako zapišemo gibalno količino v obeh sistemih

    \[\begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}\]

      in     

    \[\begin{bmatrix}{G_o^\prime}\\{G^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}m^\prime c\\m^\prime v^\prime\end{bmatrix}.\]

Vemo že, da  dogodka tudi gibalni količini, ki ju  izmerita sprevodnik in postajenačelnik, vežeta Lorentzovi transformaciji

    \[ \begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}G_o^\prime\\G^\prime\end{bmatrix} \]

Opazujmo telo, ki se pelje v vlaku in miruje glede na sprevodnika, tako da on izmeri lastno maso telesa

    \[m^\prime=m_o\]

Njegova gibalna količina je za postajenačelnika

 

    \[\begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}\]

,

za sprevodnika pa

    \[\begin{bmatrix}{G_o^\prime}\\{G^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}m_o c\\0\end{bmatrix}.\]

Vstavimo to v Lorentzove transformacije, pa dobimo

    \[ \begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}m_oc\\0\end{bmatrix} \]

Prva vrstica nam da

    \[mc=\frac{m_oc}{\sqrt{1-\beta^2}},\]

druga pa

    \[mv=\frac{\beta m_oc}{\sqrt{1-\beta^2}}.\]

Upoštevajmo v obeh relacijah, da je

    \[\beta=\frac{v}{c},\]

pa dobimo obakrat

    \[m=\frac{m_o}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.\]

Masa delca se torej poveča za vse opazovalce, ki ne mirujejo glede nanjo. Povečanje je skladno z relativističnim faktorjem, svetlobni hitrosti bi ustrezala naskončna masa delca. Posledica tega je, da delec, ki mirovno maso ima, ne more doseči svetlobne hitrosti.

Tako se lahko s svetlobno hitrostjo lahko gibljejo samo delci brez mirovne mase, npr. fotoni. Vendar se delci z mirovno maso, kot so npr. elektroni ali protoni, lahko, če imajo dovolj energije (npr. v pospeševalnikih) tej hitrostil zelo približajo.

NAZAJ NAPREJ

PTR v srednji šoli(9)

Objavljeno ,

Lorenzove transformacije lahko zapišemo v kompaktnejši matrični obliki:

    \[ \begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\end{bmatrix} \]

V njej nastopa Lorenzova matrika

    \[ \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}&\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}\\\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}&\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \end{bmatrix}\quad\quad\quad(1) \]

Prvo koordinato v levem vektorju enačbe (1) dobimo tako, da skalarno pomnožimo 1. vrstico matrike z desnim vektorjem in podobno tudi 2. koordinato. Pred matriko je relativistični faktor.

Opazimo, da se s svetlobno hitrostjo c pomnoženi čas v zapisu obnaša tako kot koordinata x. Če pišemo še koordinati y in z, ki sta prečni na smer gibanja, dobimo

    \[ \begin{bmatrix} ct\\x\\y\\z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \gamma& \gamma\beta&0&0\\\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} ct^\prime\\x^\prime\\y^\prime\\z^\prime\end{bmatrix} \]

Seveda tudi tu velja, da dobimo i-to komponento levega vektorja tako, da skalarno pomnožimo i-to vrstico matrike z desnim vektorjem. Še obratna Lorenzova transformacija:

    \[ \begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\\y^\prime\\z^\prime \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \gamma& -\gamma\beta&0&0\\-\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z \end{bmatrix} \]

Relacije nam ponujajo odgovor na vprašanje, kaj je čas. Čas je pač ena od koordinat štirirazsežnega prostora-časa. Vektorju

    \[ \begin{bmatrix} ct\\x\\y\\z \end{bmatrix}\]

pravimo dogodek  v prostoru- času. Lorentzove transformacije nam pomagajo preračunavati dogodke iz enega v drug inercialni sistem v prostoru-času.

NAZAJ NAPREJ