Scientia potentia est.

Posplošitev neke naloge

Objavljeno 14. oktobra, 2015 , Vinc

V Quori je bila objavljena naslednja naloga:

Poišči vse take peterke naravnih števil $(a,b,c,d,e)$ , ki zadoščajo enačbi

$abcde=a+b+c+d+e.$

Tam najdete tudi njeno rešitev.

Andrej pa je to nalogo posplošil takole:

Pokaži, da ima za vsak n enačba

$x_1x_2\dots x_n=x_1+x_2+\dots +x_n$

(do permutacij natanlčno) vsaj eno rešitev $(x_1,x_2,\dots x_n)$ , pri tem pa so vsi $x_i$ naravna števila.

Odgovor na njegovo vprašanje sem preformuliral takole:

Izrek: Za poljubno naravno število $n>1$ ima enačba

$x_1x_2\dots x_n=x_1+x_2+\dots +x_n$

vsaj $n(n-1)$ rešitev takih, da so komponente naravna števila. Dobimo jih, če permutiramo komponente n-terice $(1,1,\dots 1,2,n)$ .

Dokaz: Če je $n=2,$ zapišemo enačbo kot

$x_1x_2-x_1-x_2=0.$

Prištejemo na obeh straneh enačbe $1$ in nato razcepimo levo stran. Dobimo

$(x_1-1)(x_2-1)=1.$

Od tod dobimo rešitev $x_1=x_2=2$ .

Za splošen n pa ravnamo takole: Ker je enačba

$x_1x_2\dots x_n=x_1+x_2+\dots +x_n$

homogena, brez škode za splošnost vzamemo $x_1\leq x_2 \leq \dots \leq x_n.$ Najprej obdelamo možnost, da so vsi $x_i$ enaki. Dobimo enačbo

$x_n^n=nx_n$

in iz nje

$x_n^{n-1}-n=0,$

ki nima naravnih rešitev. Torej možnost enakih $x_i$ -jev odpade. Preostane torej

$x_1x_2\dots x_n< nx_n$

in po deljenju z $x_n$

$2\leq x_1x_2\dots x_{n-1}\leq n-1.$

Produkt $x_1x_2\dots x_{n-1}$ je torej enak nekemu naravnemu številu $a$ med vključno $2$ in $n-1$ .

Za $a=2$ dobimo

$x_1x_2\dots x_{n-1}=2.$

Vzemimo npr. $x_{n-1}=2.$ Potem morajo biti $x_1=x_2=\dots=x_{n-2}=1,$ od koder dobimo $x_n=n.$

Rešitve enačbe v množici naravnih števil so torej vse permutacije komponent n-terice

$(1,1,\dots 1,2,n),$

teh pa je $n(n-1).$

2 thoughts on “Posplošitev neke naloge”

A je dne 16. oktobra, 2015 ob 7:38 rekel:

Sem kje opazil obdelan primer n=1!?
- Vinc je dne 4. januarja, 2016 ob 17:56 rekel:
  
  Hvala za opozorilo, sem upošteval popravek.

Komentiranje zaprto.