Zadnjič smo izpeljali transformacije, ki ohranjajo razlike kvadratov koordinat točk. Uporabimo jih tokrat za preračunavanje meritev med postajenačelnikom in sprevodnikom na drvečem vlaku. Spomnimo se, proti postajenačelniku vozi vzdolž njegove x-osi vlak s hitrostjo v , ki ni majhna v primeri s hitrostjo svetobe c. Postajenačelnik meri čas t in koordinato x, njemu torej pripada urejen par (ct,x). Sprevodnik pa meri čas t’ in koordinato x’ vzdolž smeri gibanja, tako da mu pripada urejen par (ct’,x’). Čase v pomnožimo s konstanto c zato, da imata komponenti v urejenem paru enako enoto. Zadnjič smo videli, da se v vseh opazovalnih sistemih ohranja izraz:

$x^2-ct^2=x^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}.$

Uporabimo torej nove transformacije. Dobimo

$ct^\prime=\frac{ct-\beta x}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x^\prime=\frac{-\beta ct+x}{\sqrt{1-\beta^2}}.$

Parameter $\beta$ je odvisen od hitrosti vlaka. Opazujmo točko, ki glede na sprevodnika miruje, torej x’=0. Iz zadnje zveze dobimo

$x^\prime=0\Rightarrow x=\beta ct\Rightarrow \beta c=v.$

$\beta$ je torej

$\beta=\frac{v}{c}.$

Upoštevajmo to v zgornjih zvezah, prvo tudi delimo z $c$ , pa dobimo Lorentzovi formuli

$t^\prime=\frac{t-(v/c^2)x}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x^\prime=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\beta^2}}$

ter njuna obrata

$t=\frac{t^\prime+(v/c^2)x^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x=\frac{x^\prime+vt^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}}.$

Scientia potentia est.

PTR v srednji šoli(5)

NAZAJ NAPREJ