PTR v srednji šoli (11) - Vincenc Petruna Blog

Poglejmo še, kako je v PTR z delom in energijo. Najprej ugotovimo, da 2. Newtonov zakon v obliki

$\vec{F}=m\vec{a}$

ne velja, saj masa telesa ni stalna, temveč odvisna od hitrosti. Zapisati ga moramo takole

$\vec{F}=\frac{d\vec{G}}{dt},$

pri čemer je

$\vec{G}=m\vec{v}$

gibalna količina telesa. Delo, ki ga opravi ta sila, je torej enako

$A=\int_{x_1}^{x_2}{F(x)dx}=\int_{x_1}^{x_2}{\frac{dG}{dt}dx}=\int_{G_1}^{G_2}{vdG}$

Pozabavajmo se najprej z nedeločeni integralom – integrandu poiščimo primitivno funkcijo. Integrala se najprej lotimo “per partes”

$\int{vdG}=vG-\int{Gdv}=vG-m_o\int{\frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}},$

nato pa uvedemo novo spremenljivko

$1-\frac{v^2}{c^2}=u.$

Dobimo, da je zadnji integral enak

$m_o\int{\frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}=-m_oc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},$

kar skupaj da iskano funkcijo

$\int{vdG}=\frac{m_ov^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+m_oc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{m_o(v^2+c^2-v^2)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}})}=mc^2.$

Delo je torej enako spremembi zgornje funkcije

$A=\int_{G_1}^{G_2}{vdG}=(m_2-m_1)c^2.$

Iz fizike pa poznamo izrek o mehanski energiji: Delo je enako spremembi mehanske energije telesa. Zato prepoznamo v zgornji funkciji energijo telesa:

$W=mc^2~~~~(1)$

Telo, ki miruje, ima torej mirovno ali lastno energijo

$W_o=m_oc^2~~~~(2)$

Enačba (1) je najbrž najslavnejša fizikalna enačba. O njej poje celo pesem J. Menarta:

Oda od, balada balad, E=mc².

Enačba (2) pa daje odgovor na pomembno vprašanje: Kaj je masa? V obrazcu vidimo, da je masa energija, deljena s kvadratom konstante, torej (zelo zgoščena) energija.

Polno energijo delca W definiramo kot vsoto njegove lastne in kinetične energije, torej

$W=W_o+W_k.$

Od tod dobimo za kinetično energijo naslednji izraz

$W_k=W-W_o=mc^2-m_oc^2=m_oc^2(\gamma-1).$

Pri tem je seveda $\gamma$ relativistični faktor, omenjen v prejšnjih poglavjih.j

NAZAJ NAPREJ