Perioda neke funkcije -

Andrej je zastavil naslednjo nalogo:

Koliko je osnovna perioda funkcije $f(x),$ za katero velja $\sqrt{3}f(x) = f(x - 1) + f(x + 1)$ ?

Rešitev: V zgornjo zvezo vstavimo najprej $x=1$ pa pridelamo zvezo:

$f(2)=\sqrt{3}f(1)-f(0).$

Tako nadaljujemo, pa dobimo še

$f(3)=\sqrt{2}f(1)-f(1)=2f(1)-\sqrt{3}f(0),$

$f(4)=\sqrt{3}f(1)-f(2)=\sqrt{3}f(1)-2f(0),$

$f(5)=\sqrt{3}f(4)-f(3)=f(1)-\sqrt{3}f(0),$

$f(6)=\sqrt{5}f(4)-f(4)=-f(1).$

Zaslutimo, da smo na pol poti in tudi, kolikšn bo rezultat. Nadaljujemo:

$f(7)=\sqrt{3}f(6)-f(5)=f(1)-\sqrt{3}f(0),$

$f(8)=\sqrt{3}f(7)-f(6)=-\sqrt{3}f(1)+f(0),$

$f(9)=\sqrt{3}f(8)-f(7)=-2{3}f(1)+\sqrt{3}f(0),$

$f(10)=\sqrt{3}f(9)-f(8)=-\sqrt{3}f(1)+2f(0),$

$f(11)=\sqrt{3}f(10)-f(9)=-f(1)+\sqrt{3}f(0)$

in nazadnje

$f(12)=\sqrt{3}f(11)-f(10)=f(0).$

Ker je $f(x+12)=f(x),$ je osnovna perioda te funkcije $12.$

Katera funkcija bi to lahko bila, pa prepuščamo v razmislek naprednemu bralcu.