Grčija 1985

Spominu na Irmo in Gorazda.

Uvod

V bivši državi moški nismo dobili potnega lista, dokler nismo odslužili vojaščine, zato so bila kakršnakoli potovanja v tujino prej le pobožna želja. No, leta 1979 sem šestindvajsetleten avgusta po enajstih mesecih in štirih dnevih zapustil kasarno, sva se novembra prvič odpeljala z ženo v Gorico ter vedoželjno načrtovala nova potovanja.

Časi sicer po maršalovi smrti niso bili ravno rožnati. Po letih razsipništva, ko se je francoski konjak Curvoisier dal kupiti v malone vsaki samopostrežbi, je prišel na dan ogromen dolg države in vlada Milke Planinc je uvedla zelo restriktivno politiko. Vse uvožene robe je pričelo primanjkovati. Uveden je bil celo sistem par-ne par, ki naj bi prihranil nekaj goriva. Osebna vozila z parnimi tablicami niso smela voziti v torek, tista s parnimi pa ne v četrtek. Kronično je primanjkovalo tudi južnega sadja, čistil in pralnih praškov, skratka vsega, kar je bilo treba kupiti v tujini. Povprečna učiteljska plača je bila med 300 in 400 markami, k propadanju denarja je dodatno prispevala tudi inflacija, ki je dosegala takšne stopnje, da smo bili prisiljeni takoj ob plači kupovati devize na črno z deset procentnim pribitkom – šticungo. Celo svojih deviz nismo mogli v banki dvigniti, kolikor bi hoteli, količina je bila zelo omejena. Skratka, cela osemdeseta so bila težka in pravzaprav težko razumem ljudi, ki hvalijo bivšo državo. Ali imajo prav kratek spomin ali pa močno nostalgijo za svojo mladostjo v tistih časih.

Seveda pa nobena od težav ni zavrla želje po odkrivanju vsaj bližje okolice. Leta 1983 smo se z otrokoma odpeljali na Madžarsko, leto kasneje na fantastičen tridnevni izlet v Švico s sindikatom OŠ Loka, In leta 1985 v lastni režiji za cel mesec v Grčijo.

Zakaj Grćija? Konec sedemdesetih mi je prišla v roko fantastična LP gramofonska plošča z v živo posnetim nastopom zbora Mikisa Theodorakisa in solistko Mario Farantouri na atenskem stadionu Karaiskaki. Koncert je bil posnet kmalu po padcu grške vojaške hunte leta 1974, glasba je bila slovesna, prežeta z zmagoslavjem nad zatiralci, nekatere skladbe so vsebovale tudi besedila Federica Garcie Lorce in Pabla Nerude. In seveda, malo smo bili tudi pod vtisom kultnih grških filmov iz šestdesetih, Grk Zorba in Z.

Priprave na pot

Zdi se mi, da se je ideja za pot porodila že leto prej na Njivicah v avtokampu, kjer smo preživljali dopust v sindikalnih prikolicah. Ta oblika turizma je v bivši državi dobro delovala, prikolice so imele hladilnike, v katere se je dalo prinesti dobrote od doma, veliko ljudi ne glede na socialni položaj si je teden morja lahko privoščilo. Tam sva z ženo srečala tudi Irmo in Gorazda, beseda je dala besedo in načrt je počasi zorel.

Drugo leto sva si oba z Gorazdom na AMZ nabavila vavčerje za vse mogoče nesreče na poti, preverila avtomobile, Gorazdov brat nama je za srečo lastnoročno scentriral gume in pričelo se je natovarjanje naše katrce. Na tla pred zadnje sedeže je šel šotor, nanjo pa 6 cm debela zvita spalna podloga iz penaste gume, široka čez oba sedeža. Nanjo so prišle pogrnjene štiri spalne vreče, tako da je bil prostor na zadnjih sedežih zravnan z zadnjo polico. Tu na vrhu sta se utaborila otroka, sedemletni Jurij in štiriletna Nina. Danes bi imel gotovo kdo pomisleke glede varnosti, a vozili smo polno obloženi prav počasi, razen po avtocesti v Grčiji pretežno v tretji prestavi. V prtljažniku je ostalo nekaj prostora za obleko in kuhinjski pribor in to je bilo vse. Podobno sta se organizirala tudi Irma in Gorazd s Polono, vrstnico najinih otrok v nekoliko večjem poljskem PZ125.

1.dan Črnomelj – Višegrad 607km

Pot nas je vodila po trasi Črnomelj – Karlovac – Cazin – Jajce – Vitez – Sarajevo – Foča – Višegrad. Današnji Michelinroute pove, da bi bilo danes vožnje malo pod 11ur in razdalja 607 km, okvirno to drži, natančno pa ne, ker imajo danes v okolici Sarajeva avtocesto. No, mi smo se vozili cel dan. Spomnim se malice ali kosila kar ob cesti, naše punce so pogrnile prt preko havbe Gorazdovega PZja, pa smo zmagali. Seveda smo si ogledali Jajce, že takrat zapuščeno avnojsko dvorano in slapove reke Pive tam. Sarajevo smo obvozili, zelo pa mi je ostal v spominu cesta v kanjonu Drine od Foče, skupaj z železnico vklesana v kamen. Avstrijci so v kratkem času okupacije v Bosni zelo veliko naredili. Pozna se, da so hitro dojeli, da je Bosna dežela, bogata s surovinami.

Pred Višegradom nas je pričakal znameniti most, ki ga je v romanu Na Drini čuprija opisal Ivo Andrić in zanj leta 1961 dobil Nobelovo nagrado. Slabo se ga spomnim, najbrž smo bili tudi precej utrujeni, moral ga bom iti pogledat še enkrat. Prespali smo v motelu Vilina vlas v Višegradu, pozajtrkovali in zjutraj nadaljevali pot. To je bilo tudi prvič in zadnjič na vsej poti, da smo spali v zidani stavbi.

Fotko mostu lahko vidite recimo tu.

2.dan Višegrad – Titov Veles 414km

Takoj po odhodu smo zašli. Ogledali pa smo si nenadejano Prijepolje, ko smo iskali asfaltno cesto, ki jo je nenadoma zmanjkalo. Mesto je bilo nenavadno lepo urejeno in me je spominjalo na kakšne naše toplice. Nato smo se delno celo po makadamu prebili v Sandžak. Gre za pokrajino velikosti Dolenjske, a na nadmorski višini okrog 1000m. Vozili smo se po ozki, pretežno asfaltni cesti, a tako vijugasti, da smo šli samo v drugi prestavi in se tako po Sandžaku cijazili celo dopoldne.

V njegovem središču Sjenici se odločimo, da nabavimo nekaj teletine za večerjo. Zavijemo v mesnico, hočem plačati s čeki, pa se prodajalec upre: “Meni je gazda zabranio primati čekove.” Za mano pa je stal starejši možak z značilno šajkačo na glavi in takole nagovoril prodajalca: “Slušaj ti, Slovenci sami fini i pošteni ljudi, znam ja njih dobro, služio sam ja tridesetšeste vojsku na Rudnom polju!” In prodajelec je ček vzel brez besed, mi pa smo odšli z mesom, toplo nam je bilo pri srcu, da ima mož o vseh nas tako dobro mnenje.

Šele okrog poldneva smo se po kar strmem klancu spustili v Novi Pazar. Spomnim se samo, da sem se z avtom izogibal otrok, ki so se igrali v cestnem prahu.

Kosovo sem si do tedaj predstavljal revno in gorato, v resnici pa je bilo veliko ravnice z obdelanimi polji. Spomnim se, da smo se peljali mimo rudnika Trepča in Prištine. Tudi Makedonijo sem si narobe predstavljal, vsaj tisti del do Skopja je prav hribovit, tako da sem se spraševal, kje jim zrastejo tisti kontejnerji paradižnika in paprike, s katerimi so zalagali ljubljansko tržnico. Smo pa se za skoraj mesec poslovili od zelene trave, pokrajina je bila zaradi pomanjkanja padavin sežgana, razen kjer so namakali.Tudi Skopje smo v glavnem obvozili, spomnim se le romskih otrok, ki so nam kar med postankom na križišču nenaročeno oprali šipe na katrci, seveda za drobiž. Kamp v Titovem Velesu je bil prav lepo urejen, postavili smo šotore, skuhali in spekli večerjo ter zaspali.

3.dan Veles – Gevgelija – Solun – Agia Trias, 210 km

Michelinov vodič pravi, da bi danes trajala pot 2,2 ure danes, takrat pa smo potovali cel dopoldne.
Kar zgodaj smo pospravili šotore in se odpravili na pot. Ugotovili smo, da južneje kot smo, bolj vroče postaja in da se bo treba nekje aklimatizirati. Odločitev je padla na kamp Agia Trias (Sveta Trojica), kakih 20 km južno od Soluna. Po kar dobri cesti smo se se peljali mimo Demir Kapije in Gevgelije, kjer se je pričela grška avtocesta. Navdušil me je poseben režim na njej. Ne vem, kako je danes, a takrat je imela v eno smer dva pasova, glavni in odstavni. Če smo koga dohiteli, se nam je umaknil na odstavni pas, tako da smo peljali mimo, če pa je kdo dohitel nas, smo to storili mi. Če bi se slučajno kdo pozabil umakniti, prične zadnji neznansko hupati. Hitro smo se navadili tega režima, se peljali najhitreje doslej in občudovali cvetoče oleandre med nasprotnima pasovoma.

Komplikacije pa so nastopile v bližini Soluna. Število pasov v eno smer se je povečalo na tri, promet se je zgostil, postalo je mučno, ker se nam je zdelo, da vsi hupajo nam. No, izkazalo se je, da se Grki s hupami pogovarjajo, recimo pohupaš zadaj vozečemu, zavijam na levo, in on pohupa nazaj, češ slišal sem te. Nam seveda ni bilo do smeha, za nameček pa smo v gneči še izgubili Gorazda, s katerim sva do tedaj vozila v vidni razdalji. Prebili smo se nekako iz mesta, uspelo nam je zaviti proti Sveti Trojici. Sprijaznili smo se že, da bo naša družina dopustovala sama, pa zagledamo nekje ob cesti tudi Gorazdov avto, ki je bil vedno nekoliko hitrejši od nas in nas je čakal.

V kar naseljenem kampu smo postavili šotore, si ogledali plažo in seveda najprej trgovino s špecerijo. Imenitne so se nam zdele kola in fanta v plastenkah, ki jih pri nas še ni bilo, pa tudi voda v plastenkah. Seveda smo odrasli poskusili žgani metaxo in ouzo ter vino retsina z okusom po smoli. Od jedi pa so nas navdušili sirovi kolački tiropites, souvlaki, ki je pravzaprav njihov kebab, in tzalziki, kumarična solata z jogurtom, česnom in baziliko, pa seveda musaka. Od tedaj nas tzalziki redno spremlja v poletni družinski prehrani. Turške kave se pri njih ne naroča (s sosedi kljub temu, da so skupaj v Natu, niso v dobrih odnosih), temveč grško.

V tem kampu smo ostali tri dni. Spomnim se predvsem izleta v Solun in obiska ulice trgovinami, v katerih so bili sami ženski čevlji. Trgovine v tej ulici so bile posebne, večino površine je predstavljala prelomljena vbokla izložba, prodajni prostor je bil prav majhen, kot da je večino robe razstavljene. In najhuje, čevlji ali sandali v posamezni izložbi so bili vsi iste barve. Večjega posmeha takrat napol praznim trgovinam doma res ne bi mogli doživeti.

Druga izkušnja iz Soluna, ki je ne bom pozabil, je bila s frizerjem. Konec šolskega leta je za šolnike naporen in mi frizerskega salona nekako ni uspelo obiskati doma. Stopim torej v brivnico, sprejme me koščen Grk pri šesdesetih in me kritično gleda v glavo. Angleško ni znal, jaz grško prav malo, in ne da bi se sporazumela, je pripeljal lijak za pranje glave, mi ročno opral lase in naredil najlepšo frizuro, kar sem jih kdaj imel. Operacija se končala s krajšanjem obrvi in prirezovanjem dlak v ušesih in nosu. Dogodek je kar trajal, obe družini sta se nabrali na vratih in kukali, kaj se dogaja. Skratka, imel sem priliko doživeti mojstra svojega poklica starega kova. Račun za vse to pa je bil vsemu trudu navkljub dovolj kulturen, da sem mu lahko pustil tudi napitnino.

Po treh dneh smo se toliko navadili na vročino, da smo se lahko odpeljali proti jugu. Klime v avtomobilih seveda ni bilo, zato smo se ves čas vozili z odprtimi okni in kljub temu se nobeden od otrok se ni prehladil. Hrano in vodo za na pot smo pretežno kupovali v trgovini, mene so navdušile olive vseh velikosti in barv v čebričkih, prodajali so jih v rinfuzi, torej na vago. Doma sem se naučil nekaj grških besed in fraz in te tudi vneto uporabljal, domačini so bili navdušeni nad mojim trudom in sem v trgovinah vedno dobil dobro mero oliv, na tržnici pa enkrat celo lubenico zastonj. Tako smo brzeli mimo Olimpa in Larise do avtokampa Stylis (Stylida) nekako na pol poti do Aten. Zapomnil sem si ga po črnem produ na obali, okoliške kamnine so bile očitno vulkanskega izvora, nam navajenim na apnenec pa se je zdelo, da je pesek umazan. Bilo je tudi neverjetno hrupno zaradi cvrčanja skržatov, nažigali so, da so bolela ušesa. Splača se omeniti tudi sanitarije – brez izjeme so bile že takrat brezhibno čiste, podobne našim današnjim, medtem ko so bile naše takrat prava katastrofa.

6.dan Stylis – Rafina 240 km


No v Stylisu smo samo prespali in večerjali izvrstno musako, drugi dan pa odbrzeli mimo Lamie in Termopil naprej na jug. Prevozili smo Maratonsko polje in se utaborili v kampu pri Rafini, 30 km vzhodno od Aten na obali Egejskega morja. Tu je bilo že postavljeno nekaj prikolic Atencev, ki so hodili sem na oddih. Lokacijo smo izbrali tako, da smo bili hkrati ob morju, Atene pa so bile dosegljive z lokalnim avtobusom. Tukaj smo se odločili ostati večino časa v tej državi in od tod hoditi na izlete naokrog.

Atene

Opremili smo se z zemljevidom Aten in že naslednji dan odpotovali z avtobusom, podobnim tistim v ljubljanskem potniškem prometu, v Omonio, ki je središče Aten. Pričakal nas je nas je impozanten vodnjak, že pogled nanj je bil v peklenski vročini osvežujoč. Oboroženi z zemljevidom smo se v takrat štiri milijonskem mestu počutili čisto suvereno. Najprej smo obiskali nacionalni arheološki muzej in tam ostali debeli dve uri, Grška antična zgodovina ima več plasti skozi več tisočletij, nekako od najstarejše kretsko mikenske naprej. Potem pa nazaj z avtobusom, v kamp na plažo na obali Egejskega morja, kjer so bili morda ravno tisti dan precej večji valovi od tistih, ki smo jih bili vajeni iz Jadrana. Naslednji dan pa smo se zapeljali na jug polotoka v 40 km oddaljeni Sounion, kjer so ostanki Pozejdonovega templja, zgrajenega od Atencev med vladavino Perikleja v 5.stol.pr.n.št. Nekaj veličastnih stebrov še vedno stoji in kljubuje potresom in zobu časa.

Greece_Cape_Sounion_Avtor: Berthold Werner; licenca: CC

Pozejdonov tempelj v Sounionu. Vir: Wikipedia, B.Werner, CC

Po nekaj dneh smo se spet odpravili z avtobusom v Atene. Zlezli smo na Akropolo, Partenon so ravno prenavljali, nenavadno smo se počutili na tako zgodovinskem mestu. Od tam smo se dodobra razgledali na vse strani Aten. Sledil je spust v slikovito staro četrt Plako, in ogled drugih atenskih znamenitosti, trga Sintagme, grškega parlamenta s slovito menjavo straže, stadiona, na katerem so bile leta 1896 prve olimpijske igre moderne dobe. Je iz belega marmorja in dvakrat ožji od današnjih stadionov.

Izlet na Peloponez, 200km

Nekaj dni kasneje smo se z avtomobili ob zvokih sirtakija iz kasetarja odpravili na jug, na Peloponez. Ostale so mi v spominu ozke uličice Pireja in seveda Korintski prekop, po mnogo poskusih že v antiki zgrajen konec 19.stoletja. Prekop je dolg nekaj čez 6 km, na vodni gladini, torej brez zapornic med 90m visokimi stenami.  Pot skrajša kar za 900 km, a je uporaben le z a manjša plovila.

Naslednja postaja so bile Mikene,  središče kulture, ki je cvetela med 1600 in 1150 pr.n.št.  Ogledali smo si Levja vrata, arheološko zbirko od tod pa smo videli v Nacionalnem arheološkem muzeju.  Naprej nas je pot vodila do Epidaurusa, ki velja za najbolj ohranjeno grško antično gledališče.  Občudovali smo njegovo akustiko. Ko je na odru  vodič neke skupine trgal papir, se je to slišalo v zadnji vrsti polkrožnega gledališča.

Levja vrata v Mikenah. Vir Wkipedia, A.Trepte, CC

Morje smo spet zagledali pri Naplionu, zelo utrjenem mestu z bogato zgodovino. Vročina nas je zdelovala, zmogli smo samo še do turističnega mesteca Milli, kjer je bilo morje v plitkem zalivu tako toplo, da so se redke ribe obračale okrog.

Ostali smo do poznega popoldneva, čakalo nas je 200 km poti nazaj. Vožnje po križiščih velemesta smo se šele učili. Med prvimi smo pripeljali do semaforja, nato pa tako kot drugi torirali motorje, da bi nas ob zeleni čim prej odneslo skozi križišče.

Zaplet

Tedna, namenjena dopustu  v Grčiji, sta hitro minila, tudi nemške marke, ki smo jih menjali v drahme, so kopnele. Bližal se je čas odhoda in podrli smo šotora, zložili vse v avtomobila in štartali. Nismo še prišli iz Rafine, ko v katri pod motorjem nekaj zaropoče, avto pa obstane in motor crkne.  Poiščemo bližnjega mehanika, ki ni znal nič angleščine, je pa pogledal motor in izjavil :˝Mašina kaput!˝ Poklical sem Elpo, ki je grški AMD.  Povedal mi je naslov avtomehanične delavnice v Atenah, kjer bo pustil avto, da ga bodo popravili. Razložili smo spet prtljago in ponovno postavili šotor na istem mestu. Naslednji dan sva se Gorazdom odpravila v to delavnico, da se dogovorim za popravilo. Povedal  sem, da mislim plačati z vavčerji, pa so se mi smejali, češ da Jugoslavija ne plačuje računov.  Stisnilo me je pri srcu, poklapana sva odšla nazaj v kamp.  Denarja je obema družinama zmanjkovalo, razmišljal sem že, da bi avto pustil v Grčiji, sami pa bi šli z vlakom domov. V kampu sta naju pričakali ženi z otroci in večerjo. Makaronovo meso je bilo zelo slastno, saj cel dan nisva nič jedla. In ravno med večerjo je prišla tudi čudežna rešitev mojih težav.

Nismo še dobro odložili žlic, ko je v šotor pokukala glava:

˝Slovenci? Slišal sem govorico.˝

Gospod je bil Belokranjec Tone Panjan, predstavnik tovarne IMV  v Atenah, Grkom je prodajal prikolice, v Rafino pa je hodil v svojo prikolico na oddih. Povedal sem mu za težave z avtom in tudi z denarjem,  pa se je ponudil, da bo za avto poskrbel on. Res nas je drugi dan pričakal v svoji pisarni v Atenah, skupaj smo odšli po katro, in jo odpeljali v njegovo delavnico. Popravilo je trajalo samo tri dni, motor je bil sicer v redu, strgala pa se je verižica, ki jo imajo katre namesto zobatega jermena. Stroški so znašali 340 mark, denar je založil on po dogovoru, kako mu ga bom vrnil.

V Tonetovem mitsubishiju sem tudi spoznal, kako se vozi po križiščih velemesta. Prav upokojensko in nestresno gre od križišča do križišča, poskrbeti je treba le, da si v koloni vedno zadnji ali vsaj med zadnjimi. Potuješ pa ravno tako hitro kot tisti prvi v koloni, ki torirajo motorje pred startom.

Tako smo imeli nekaj podaljšanega grškega dopusta. Medtem se mi je zgodila smešna situacija z grškimi policisti. Z dvema smo se seznanili že v kampu, impresionirana sta bila nad našim nogometašem  Velimirjem Zajecom, ki je ravno takrat zaigral za njihov Panathinaikos.  Ker sta vedela za okvaro na avtu, sta naju z Gorazdom povabila na postajo in nama celo ponudila kavo. Ob odhodu na mizi enega zagledam sončna očala, za las podobna mojim, pa jih spravim v žep majice, ne da bi kdo kaj opazil. Po kakih petdeset metrih od postaje pa opazim, da imam svoja na vrhu glave. Seveda sem osramočeno odtaval nazaj in sprožil pri policistih buren krohot.

Rafina – Ohrid 590km

Domov smo potovali v enem zamahu, saj smo bili skoraj brez deviz. Ustavili smo se le na tržnici v Larisi za vodo in sadje. Spomnim se, da smo tudi na tej tržnici dobili melono zastonj, najbrž zaradi otrok in tistih nekaj grških besed in fraz, ki smo jih vneto uporabljali.  Prvi kraj, v katerem smo se v bivši državi ustavili, je bila Bitola. Hoteli smo na stranišče, a v nasprotju z bleščečimi grškimi stranišči je bilo tu polito in tema.

– Aha, doma smo, sem pomislil. Ponovno smo se ustavili v slaščičarni v mestu Resen, kjer smo se čudili pistacijam in podobnim prav vabljivo dišečim suhim dobrotam. Nadaljevali smo do Ohrida, kjer smo se spet utaborili. Zaradi povratka v domovino in možnostjo plačevanja s čeki smo namreč spet postali solventni.

Ohrid

Za spremembo od do sedaj rjave, od suše sežgane pokrajine, je bila okolica Ohrida zelena, prav spominjala je na Belo krajino in Kolpo. Pozna se, da je nadmorska višina Ohridskega jezera okrog 700m.  Pred jezerom smo si na nekem griču ogledali ostanke bazilike, od katere je ostal samo talni mozaik. Nato smo si izbrali kamp na vzhodni obali. Izbira je sedaj, ko smo bili izkušeni taborniki, potekala prav strokovno, najprej je sledil ogled kampa vključno s sanitarijami in cenikom in šele drugi nam je bil všeč. Postavili smo šotore in tam ostali štiri dni. Seveda smo si ogledali mesto, v cerkvi svete Sofije je ravno vadil zbor in opazili smo, da je cerkev tako akustična, da so nas od petja zbora bolela ušesa. Eden od dni, ki smo jih preživeli tam, je bil 2.avgust, njihov nacionalni praznik Ilinden. Na ta dan leta 1903 so se Makedonci pod vodstvom Goce Delčeva uprli Turkom. Spomnim se gneče na ulicah in pražnje oblečenih domačinov. Odpeljali smo se tudi pogledat samostan v Naumu prav na albanski meji. Meja je takrat veljala za neprodušno zaprto, v Albaniji je še vladal režim Enverja Hoxhe.  Kopali smo se v prav toplem jezeru, nekega večera pa so nas v kampu povabili na požirek domačini, med katerimi je bil tudi poslanec njihovega sobranja.  Seveda smo razpravljali tudi o politiki in bili polni inovativnih rešitev.

Ohrid – Skopje 172km

Za pot domov smo se odločili po zahodnem, albanskem delu države. V Skopje smo prišli preko mest Kičevo, Gostivar in Tetovo. Ta del je precej hribovit, pokrajina je podobna našim Gorjancem. Spotoma smo srečali domačina z značilno kapico na glavi, pet metrov za njim pa je drobila njegova žena, pokrita z naglavno ruto. Povprašali smo ga za pot, vse nam je natanko razložil, žena pa si je nas je iz varne razdalje natanko ogledala. V nekem kiosku ob poti smo dobili imeniten jogurt in to je bilo vse.V Skopju smo najprej poiskali kamp, kjer bi lahko postavili šotore. Kamp je bil sumljivo prazen, a mi smo bili preveč utrujeni, da bi kaj dosti spraševali.  Nas je pa ponoči zbudilo streljanje – a na srečo smo kmalu ugotovili, da je nekje v bližini svatba in da svatje streljajo.

Skopje – Budva 420km

Zjutraj smo pospravili in naprej na Kosovo, mimo rudnika Trepča in Prištine v Črno goro.Cesta je bila gorska, ovinkasta, precej časa je potekala v kanjonu reke Morače. Prvi večji kraj v Črni gori je bil Kolašin. Nismo se tam niti ustavili, temveč smo obiskali Njegošev mavzolej na Lovčenu ter si ogledali staro črnogorsko predstolnico Cetinje. Našli smo neko gostilno v okolici in si naročili jagnjetino. Zanimivo je bilo to, da smo plačali s čekom, a ne spomnim se, da bi tisti ček kdaj  prišel na vnovčenje. Hvala Črnogorcem! Na vsej poti je bil to edini tak primer.

Od tam nas je čakala še kar dolga pot do morja, ki smo ga dočakali v Budvi. Pozno je bilo, ko smo prispeli, po krajšem postanku  na pijači smo ustavili blizu plaže. Nismo postavljali šotorov, otroci so spali v avtu, z ženo pa sva potegnila na plan blazino, podložila pod njo šotorsko krilo, zlezla v spalni vreči in zaspala. No, za vsaj slučaj sem si vtaknil pod blazino še sekirico za zabijanje klinov.  

Budva – Dubrovnik 120 km

Odločili smo se, da se bomo vračali nazaj po jadranski magistrali. Obiskali smo torej Boko Kotorsko, v Kotorju sem na javnem vodnjaku lahko pil bočato vodo (tako pravijo sladki vodi, ki je je zmešala z morsko). Leto ali več nazaj je bil namreč v tistih krajih potres in voda iz vodovoda se je zmešala z morsko. Pot nas je naprej vodila v Dubrovnik, kjer smo si spet vzeli čas za obzidje in izlet z gondolo na Srđ. Dubrovnik sem poznal, ker sem bil tam nekaj let prej na maturantskem izletu. Zvečer smo obiskali Babin kuk, hotelsko naselje, podobno našemu Bernardinu. Nekaj časa smo posedeli ob glasbi, nato pa poiskali nekoliko odmaknjeno parkirišče, kjer smo mislili, da bomo prenočili tako kot v Budvi. Spet so otroci spali v avtu, mi pa na blazinah ob avtih. A po kaki uri sta na prebudila policista. Posebej eden je bil prav glasen in grob, najbrž ga je bilo strah, celo njegov kolega ga je miril, češ da otroci spijo. Odmerila sta nama kazen in nas napotila v kamp, ki sploh ni bil tako blizu. Ob speljevanju smo opazili varnostnika v krožečem avtomobilu, ki je poklical policijo.

Dubrovnik – Primošten 204 km

Naslednji dan je bil cilj Split. V vročem dnevu smo ob ustju Neretve opazovali domačine, ki so ob cesti prodajali lubenice in jih atraktivno hladili tako, da so jih polivali s curki mrzle vode. To je bil tudi zadnji našega skupnega potovanja. Irma in Gorazd sta se odločila, da gresta obiskat sorodnike v Split, mi pa smo nadaljevali do Primoštena, kjer smo v kampu še zadnjič prespali in se v popoldanskih urah polni vtisov srečno vrnili domov. V Slovenijo smo stopili iz Jurovskega Broda in takoj ugotovili, da je trava pri nas najbolj zelena in naše hiše najlepše.

Primošten – Črnomelj 340km

Števec na katri je doma kazal dobrih 6000 km več.  Če izvzamem tisto pretrgano verigo, dobro je zdržala, čeprav je bila stara že sedem let. Tudi otroci so pot imenitno prenesli. Zaradi vročine smo vozili pretežno z odprtimi okni, a ni nobeden od njiju potožil zaradi ušes ali česa drugega. Kasneje so se pritoževali le zato, da so šli premajhni na pot in se je niso zapomnili. Prav tako smo se dobro držali odrasli, spomnim se samo glavobola moje boljše polovice v Atenah, ko smo poiskali lekarno. Še najbolj nas je pravzaprav zdelovala vročina, tako da bi bi si za tako potovanje veljalo izbrati kak drug letni čas.

Details

Details

Details

Učenje igraje?

V zadnjih pol stoletja, predvsem pa s pojavom hišnih računalnikov, se je razširilo prepričanje, da se je možno naučiti poljubne vsebine, predvsem računalniške, brez posebnega truda, tako rekoč igraje. Ne vem, od kod ta miselnost izvira, morda iz površnega opazovanja iger otrok, širili pa so jo tako mediji kot celo nekateri šolniki. Nekateri od njih so okrog učenja igraje razvili celo teorijo in šli celo spreminjat učne načrte, da o metodah ne pišem, da bi bilo čim več takega učenja igraje. In v očeh mnogih to znanje sploh ni cenjeno, saj je pridobljeno igraje.

Seveda je to res samo za zelo površne opazovalce. Če gledamo otroka, ki se uči hoditi, koliko volje in truda, koliko poskusov in padcev je potrebno, da mu uspe, in seveda pomoči staršev. In s vsako njegovo dejavnostjo je tako: pisanje, računanje, igranje instrumenta, športna aktivnost. Res se lahko otrok igraje podi za žogo, a to seveda ne pomeni, da zna igrati nogomet. Pridobivanje znanja, seveda tudi računalniškega, pa je prav naporen proces, ki zahteva od udeleženca optimalno psihofizično stabilnost, motivacijo, koncentracijo, predanost in vztrajnost. Gre torej za posebno, kar zapleteno stanje. Zase lahko rečem, da se ničesar nisem naučil igraje, vse, kar znam, sem dosegel s trudom ali, kot bi rekel moj profesor teoretične fizike Sergej Pahor, v potu svojega obraza. Zato mislim, da je pričakovati, da se bo nekdo nekaj naučil igraje, pravzaprav podcenjevanje tega procesa in tudi osvojenega znanja.

Učenje šolarjev in dijakov ali študij uspešnih študentov je zelo resno delo. Naloga učiteljev pa je dvojna, prvič da učečemu držijo letvico kot pri skoku v višino in drugič, da to delo učečemu kolikor se da olajšajo. Seveda ne s spuščanjem letvice, temveč z dodatno razlago in odgovori na morebitna vprašanja.

Obstaja neke vrste ekvivalenca med časom, denarjem in znanjem. Če imaš čas, lahko prideš do znanja. Je pa znanje tudi tržno blago, če imaš denar, lahko kupiš strokovnjaka ali pa si najameš inštruktorja, da ti skrajša čas pridobivanja znanja. Povsod v svetu je znanje vrednota, nisem pa čisto prepričan, da tudi pri nas.

Uvod v teorijo iger(1)

Uvod

Za uvod prosto po Jamniku nekaj definicij:

Igra je zbirka pravil in dogovorov, po katerih se morajo ravnati udeleženci. Označujemo jo s črko \Gamma.

Igre delimo na nakljućne in strateške. Tu obravnavamo samo strateške igre.

Realizacija igre je partija.

Udeleženci igre so igralci. Označujemo jih s P_1, P_2, itd.

Igra poteka tako, da v določenih fazah igralci izbirajo iz neke množice ukrepov tistega, za katerega sodijo, da je zanje v dani fazi igre najugodnejši. Ta ukrep kje izbira igralca, faza pa poteza.

Če imamo n igralcev, izid igre popišemo z n-terico števil

Števila didi so lahko pozitivna ali negativna. Če dobiček nekaterih izvira samo iz izgub drugih, velja

Taka igra je igra z vsoto 0 ali antagonistična igra. Sicer je igra neantagonistična.

Matrične igre

Zahtevi “brez informacije” igralca ustrežeta tako, da izbirata hkrati ali loćeno drug od drugega. Naj igralecP1 izbira med (1,2,…n)izbirami,

izbi(1,2,…,m
izbirami, P2 pa med (1,2,…,n) izbirami. Dobiček, če prvi igralec izbere iii[Math Processing Error][Math Processing Error]ii, drugi pa j, bomo opisali z dij To je torej plačilo, ki ga mora igralec P2 plačati igralcuP1P1PPredgledni zapišemo dobičke v plačilni matriki

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\[D=\begin{Vmatrix }d{11} &d_{12}\dots d_{1n}\\  d{21} &d_{22}\dots d_{2n}\\  d{m1} &d_{m2}\dots d_{mn} \end{Vmatrix}\]

*** Error message:
Environment Vmatrix  undefined.
leading text: \[D=\begin{Vmatrix }

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\[D=\begin{Vmatrix }d{11} &d_{12}\dots d_{1n}\\  d{21} &d_{22}\dots d_{2n}\\  d{m1} &d_{m2}\dots d_{mn} \end{Vmatrix}\]

*** Error message:
Environment Vmatrix  undefined.
leading text: \[D=\begin{Vmatrix }

/

Goldbachova domneva in nemogoči problem

Ivan Vidav: Teorija števil in elementarna geometrija

Članek z naslovom O nerešljivem problemu je izšel v časopisu Obzornik za matematiko in fiziko 29, 1982, str. 101-102.

Naravno število je praštevilo, če je večje od 1 in je deljivo le z 1 in s samim seboj. Najmanjše praštevilo je 2 in je edino sodo, vsa druga so liha: 3, 5, 7, 11, 13, … Vemo, da se dá vsako naravno število, ki je > 1 in ni praštevilo, razstaviti v produkt samih praštevil. Ali se dá zapisati tudi kot vsota praštevil? Prav gotovo, če se ne oziramo na število sumandov. Sodo število je na primer vsota samih dvojk. Zgled:

100 = 2 + 2 + 2 + … + 2.

Tu je na desni kar 50 sumandov. Število 100 pa lahko izrazimo tudi takole:

100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53 .

Vsi sumandi na desni so praštevila. Torej se dá 100 zapisati kot vsota dveh praštevil, in sicer kar na šest načinov. Poglejmo, kako je pri najmanjših sodih številih:

4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 3+5, 10 = 3+7 = 5+5.

Kaj hitro se prepričamo tudi o nadaljnjih ne prevelikih sodih številih 12, 14, 16, 18, … , da se izražajo kot vsote dveh praštevil. Zato se nam upravičeno vsiljuje tale

DOMNEVA. Vsako sodo število  >= 4 se da zapisati vsaj na en način kot vsota dveh praštevil.

Prvi je to domnevo izrazil C. Goldbach leta 1742 v nekem pismu L. Eulerju. Zato se imenuje Goldbachova domneva. Doslej je še nihče ni dokazal, prav tako ni nihče našel kakega protiprimera. Z računalniki so potrdili veljavnost domneve za velikansko množico sodih števil. Toda dokler nimamo strogega dokaza, ne moremo z gotovostjo trditi, da je Goldbachova domneva pravilna. Morda soda števila, ki jih ni mogoče razstaviti v vsoto dveh praštevil, obstajajo, vendar so zelo velika in se tudi najmanjše med njimi izraža v desetiškem sestavu s številko, ki ima nekaj sto števk. Če bi bilo to res, Goldbachova domneva ne bi bila pravilna, toda tega ne bi mogli nikoli odkriti s testiranjem, niti z uporabo najhitrejših računalnikov ne.

PRIPOMBA. Če se da število n vsaj na en način zapisati kot vsota dveh praštevil, bomo na kratko rekli, da je vsota dveh praštevil, če pa to ni mogoče, potem n ni vsota dveh praštevil. Naj bosta a in b naravni števili. Izjava, da je a+b vsota dveh praštevil, torej ne pomeni, da sta a in b praštevili, temveč da obstajata taki praštevili p1 in p2, da je a+b = p1+p2. Npr. število 8+6 je vsota dveh praštevil, ker je 8 + 6 = 14 = 3+11.

Kdaj je liho število vsota dveh praštevil? Ker so razen 2 vsa praštevila liha, vsota dveh lihih števil pa je soda, je liho število n vsota dveh praštevil natanko tedaj, kadar ima obliko n = p + 2, kjer je p liho praštevilo. Torej je liho število n vsota dveh praštevil, če je razlika n – 2 praštevilo, sicer pa ni. Tako je npr. 9 vsota dveh praštevil, ker je razlika 9 – 2 = 7 praštevilo, 11 ni, ker je razlika 11 – 2 = 9 = 3∙3 sestavljeno število.

Kaj lahko na splošno povemo o izražanju lihih števil, namreč tudi tistih, ki niso vsote dveh praštevil?

DOMNEVA L. Vsako liho število >= 7 se da zapisati kot vsota treh praštevil.

Denimo, da je Goldbachova domneva pravilna. Naj bo n poljubno liho število >= 7. Potem je razlika n – 3 soda in >= 4, torej je vsota dveh praštevil, npr. n – 3 = p1-p2, kjer sta p1 in p2 praštevili. Od tod dobimo n = 3 + p1 + p2. Tako smo zapisali n kot vsoto treh praštevil 3, p1 in p2. Vidimo, da iz pravilnosti Goldbachove domneve izhaja pravilnost domneve L. V obratni smeri pa ne gre; ne znamo dokazati, da je Goldbachova domneva pravilna, če je pravilna domneva L.

Domnevo L bi skoraj smeli imenovati izrek. Leta 1937 je namreč ruskemu matematiku I. M. Vinogradovu uspelo dokazati, da je vsako liho število, ki je dovolj veliko, namreč večje od N0=, vsota treh praštevil. Število N0 se v desetiškem sestavu izraža s številko, ki ima skoraj sedem milijonov števk, se pravi, da je nepredstavljivo veliko. Kljub temu je do N0 samo končno mnogo lihih števil. Treba bi bilo vsako od njih testirati, ali je vsota treh praštevil. Če je, bi bila domneva L dokazana. Žal je N0 tako velik, da tega testiranja verjetno ne bo mogoče nikoli opraviti niti z najhitrejšimi računalniki.

PRIPOMBA. Pred nekaj leti sta Chen in Wang zmanjšala omenjeno mejo N0 na število, ki ima, zapisano v desetiškem sistemu, samo okoli triinštirideset tisoč števk. Testiranje lihih števil do te meje je seveda praktično prav tako neizvedljivo.

Oglejmo si zdaj neko zanimivo nalogo, ki je rešljiva samo na en način, če je Goldbachova domneva pravilna. Glasi se takole:

Peter je izbral dve naravni števili, večji od 1. Vsoto teh števil je povedal prijatelju Tonetu, produkt pa Mirku. Tone si ogleda vsoto in telefonira Mirku:

“Ne vidim možnosti, kako bi ti lahko ugotovil vsoto.”

Čez nekaj časa odgovori Mirko:

“Imaš prav. Ne morem določiti vsote.”

Kmalu nato pa se spet oglasi Tone:

“Vem, kolikšen je produkt.”

Kateri števili je izbral Peter?

Nalogo v tej obliki je postavil Barry Wolk z univerze v Manitobi, objavil pa jo je Martin Gardner v časopisu Scientific American junija 1980. Imenoval jo je nemogoči problem, in sicer zato, ker na videz ni dan noben podatek, ki bi omogočil rešiti nalogo.

Imenujmo izbrani naravni števili x in y, vsota x+y naj bo V, produkt xy pa P. Ker sta x in y večja od 1, je P produkt najmanj dveh praštevil. Mirko, ki je poznal P, je P razstavil na prafaktorje. Vsoto bi takoj našel, če bi bil P produkt samo dveh praštevil. Recimo, da bi bilo P = 15 = 3 ∙ 5. V tem primeru bi Peter izbral števili 3 in 5, vsota pa bi bila 8. Mirko ni mogel določiti vsote zato, ker je P produkt najmanj treh prafaktorjev. Kako je Tone to vedel? Ogledal si je vsoto V in videl, da se V ne da zapisati kot vsota dveh praštevil in potemtakem P ne more biti produkt samo dveh prafaktorjev. Njegovo telefonsko sporočilo Mirku je zato vsebovalo informacijo, da V ni vsota dveh praštevil. Mirko je zdaj skušal razstaviti P na dva faktorja tako, da vsota faktorjev ni vsota dveh praštevil. Če bi se dal P razstaviti v tem smislu samo na en način, bi Mirko dobil faktorja x in y, s tem pa vsoto V = x + y. Denimo, da bi bilo P = 18. Število 18 lahko razstavimo na dva načina v produkt dveh faktorjev, ki sta oba večja od 1, namreč 18 = 3 ∙ 6 in 18 = 2 ∙ 9. Vsota faktorjev je v prvem primeru 3 + 6 = 9. Ker je 9 = 2 + 7 vsota dveh praštevil, izbrani števili nista 3 in 6. V drugem primeru je vsota faktorjev 2+ 9 = 11, ki ni vsota dveh praštevil. Če bi bil torej produkt 18, bi Mirko ugotovil, da je Peter izbral števili 2 in 9 in da je vsota V = 11. Toda Tonetu je telefoniral, da vsote ne more najti. Zakaj ne? Videl je namreč, da se da P razstaviti vsaj na dva načina v produkt dveh faktorjev tako, da vsota faktorjev ni vsota dveh praštevil. Ko je Tone dobil sporočilo od Mirka, je zapisal V na vse mogoče načine kot vsoto dveh sumandov

V=2+(V-2)=3+(V-3)=…

in si ogledal pripadajoče produkte 2(V-2), 3(V-3), 4(V-4) itd. Ugotovil je, da je mogoče samo enega izmed njih razstaviti še na en način v produkt dveh faktorjev tako, da vsota faktorjev ni vsota dveh praštevil. Tisti produkt je bil pravi. Zato je lahko telefoniral Mirku, da je našel produkt.

Tone je poznal vsoto V izbranih števil, Mirko produkt P, mi pa ne poznamo niti V niti P. Kako bomo razvozlali uganko? Naštejmo, kaj vemo o naravnih številih x in y, ki jih je Peter izbral, o vsoti V in produktu P :

(i)          x in y sta večja od 1.

(ii)         V = x + y ni vsota dveh praštevil.

(iii)        Število P = xy se da vsaj še na en način razstaviti v produkt x’y’ tako, da vsota faktorjev x’ + y’ ni vsota dveh praštevil.

(iv)        Število V lahko zapišemo na en sam način kot vsoto x+ y, kjer imata sumanda x in y lastnosti, navedeni v (i) in (iii).

Dokažimo zdaj, da sta x, y, z njima pa vsota V in produkt P, z lastnostmi (i) do (iv), natanko določena, če je Goldbachova domneva pravilna.

Po (i) je vsota V = x + y najmanj enaka 4. Če drži Goldbachova domneva, je vsako sodo število > 4 vsota dveh praštevil. Pogoj (ii) potemtakem pove, da je V liho število. Tudi razlika V – 2 je liha, ni pa enaka kakšnemu praštevilu p, saj bi sicer bil V = p + 2 vsota praštevil p in 2. Zato je V – 2 sestavljeno število. Razstavimo ga v produkt ab, kjer sta faktorja a in b liha in večja od 1. Tedaj imamo V = ab + 2. Ker sta a in b liha, sta razliki a – 1 in b – 1 sodi in zato lahko pišemo a – l = 2m,
b – 1 = 2n, kjer sta m in n naravni števili > 1. Potem je a = 2m + 1, b = 2n + 1 in

V = 4mn + 2(m + n) + 3

Število V bomo zdaj na dva načina zapisali kot vsoto dveh sumandov. Najprej postavimo

x = 4mn + 2 , y = 2(m + n) + 1 .

Potem je x + y = V. Pripadajoči produkt

P = xy = (4mn + 2)(2m + 2n + 1) lahko razstavimo na dva faktorja x’ in y’ tudi takole:

x’ = 2 , y’ = (2mn + 1)(2m + 2n + l) .

Očitno sta faktorja x’ in y’ različna od faktorjev x in y v prejšnjem razcepu. Vsota novih faktorjev

x’ + y’ = (2mn + 1)(2m + 2n + l) + 2

je liho število in ni vsota dveh praštevil, ker (2mn + 1)(2m + 2n + 1) očitno ni praštevilo. Torej smo zapisali V kot vsoto x + y, pri tem pa se da pripadajoči produkt P = xy vsaj na dva načina razstaviti v produkt dveh faktorjev tako, da vsota faktorjev ni vsota dveh praštevil.

Drugič razcepimo V na tale sumanda:

X = 4mn – 4m + 2 , Y = 6m + 2n + 1 .

Ta razcep je različen od prejšnjega, ker ni niti X = x, niti X = y (X je namreč sod, y lih). Oglejmo si produkt

XY = (4mn — 4m + 2)(6m + 2n + 1) .

Če postavimo

X’ = 2,   = (2mn — 2m + 1)(6m + 2n + 1) ,

je X’Y’ = XY. Privzemimo najprej, da je n > 1, torej

4mn – 4m = 4m(n – 1) > 0.

Potem je X = 4m(n – 1) + 2 > 2 in zato X > X’ = 2 ter Y’ > Y. Vsota

X’ + Y’ = (2mn — 2m + 1)(6m + 2n + 1) + 2

je liho število. Ker je zaradi n > 1 faktor 2mn — 2m + 1 večji od 1, X’ +Y’ ni vsota dveh praštevil.

Če je torej n > 1, se da V zapisati vsaj na dva načina kot vsota dveh sumandov, tako da sumanda ustrezata pogojema (i) in (iii). Zato v tem primeru V nima lastnosti (iv). Isto lahko trdimo tedaj, kadar je m > 1. Izraz (1) za V, se pravi V = 4mn + 2(m + n) + 3, se namreč nič ne spremeni, če v njem zamenjamo m in n. Tako smo ugotovili, da število V ne zadošča pogoju (iv), če je katero izmed števil m in n večje od 1.

Preostane edina možnost, da je m = n = 1. Tedaj je V = 11. Pišemo lahko

V = 11 = 2 + 9 = 3 + 8 = 4 7 = 5 + 6 .

Pripadajoči produkti so 2 ∙ 9 = 18, 3 ∙ 8 = 24, 4 ∙ 7 = 28 in 5 ∙ 6 = 30. Ugotovili smo že, da se da 18 razstaviti samo na en način v produkt dveh faktorjev tako, da vsota faktorjev ni vsota dveh praštevil. Bralec naj se sam prepriča, da velja isto za števili 24 in 28. Pač pa lahko razstavimo 30 na dva načina v produkt dveh faktorjev tako, da vsota faktorjev ni vsota dveh praštevil. En razcep je 5∙6 z vsoto faktorjev 5 + 6 = 11, drugi 2 15 z vsoto 2 + 15 = 17. Niti 11 niti 17 ni vsota dveh praštevil. Vidimo, da se da 11 samo na en način zapisati kot vsota x + y tako, da sumanda x in y zadoščata pogoju (iii), namreč 11 = 5 + 6. Torej ima V = 11 tudi lastnost (iv).

Iz povedanega je razvidno, da edino števili 5 in 6 z vsoto V = 11 in produktom P = 30 zadoščata pogojem (i) do (iv). Odgovor na zastavljeno vprašanje se potemtakem glasi:

Peter je izbral števili 5 in 6.

Pri reševanju naloge smo privzeli, da je Goldbachova domneva pravilna. To nam je omogočilo dokazati, da je vsota V liho število. Če se ne zanesemo na pravilnost domneve, potrebujemo dodatni podatek, da je namreč V lih. Drugi pogoj moramo torej postaviti takole:

(ii*) V = x + y je liho število in ni vsota dveh praštevil.

Potem poteka dokazovanje kakor prej. Edino števili 5 in 6 z vsoto V = 11 in produktom P = 30 zadoščata pogojem (i), (ii*), (iii) in (iv).

Vsako naravno število n je produkt samih praštevil. Obstajajo me¬tode, s katerimi je dejansko mogoče razstaviti n v produkt praštevil s končno mnogo koraki. Tako pravi teorija, ki pa je po navadi ne zanima, koliko dela je treba opraviti pri razstavljanju. V praksi je obseg dela seveda še kako pomemben. Kar precej časa potrebujemo, da razstavimo na prafaktorje nekoliko večje število, tudi če si pomagamo z računalniki. Pri velikih številih pa je računanja toliko, da ga ne zmore v razumnem času niti najhitrejši računalnik.

Iz formulacije naloge je razvidno, da je Mirko razmeroma hitro razstavil P na prafaktorje in da je prav tako Tone kmalu pregledal vse produkte 2(V — 2), 3(V — 3), … in našel med njimi pravega. Zato Peter prav gotovo ni izbral zelo velikih števil x in y. Torej smemo domnevati, da je vsota V = x + y manjša od meje, do katere so testirali vsa soda števila in ugotovili, da je vsako izmed njih vsota dveh praštevil. Potemtakem ne potrebujemo dodatnega podatka, da je V lih in smemo ostati kar pri prvotnem pogoju (ii).