Arhivi Kategorije: Geogebrine

Stewartov izrek

Objavljeno ,

Imejmo trikotnik ABC in na stranici c poljubno točko D.  Zveznico \overline{CD} označimo z d. Med geometrijskimi izreki, ki se jih v srednji šoli običajno preskoči, je tudi Stewartov izrek 

Izrek trdi naslednje:

    \[m^2a+n^2b=c(d^2+mn).\]

Dokaz: Kota \angle ADC in \angle CDB sta suplementarna, označimo ju z \varphi in 180^o-\varphi. Ker je \cos(\varphi)=-cos(180^o-\varphi),  zapišemo za levi in desni trikotnik cosinusov izrek

    \[\frac{d^2+m^2-b^2}{2dm}=-\frac{d^2+n^2-a^2}{2dn}.\]

Preuredimo in dvakrat upoštevamo m+n=c, pa res pridemo do navedenega izreka.

Naloga:

  1. Zapiši ta izrek za enakokrak trikotnik.
  2. Dokaži Stewartov izrek samo s Pitagorovim izrekom! Namig: Najprej na skici potegni pravo črto!

Fizik in fotografija

Objavljeno ,

Večino ljudi zanimajo naravni pojavi, kot so npr. mavrica, zarja in zora, slikoviti slapovi rek, ipd. Zdijo se jim zanimivi, zato jih poskušajo ovekovečiti s fotoaparatom ali kamero, da bi jih pokazali prijateljem in znacem. Koliko informacij pa ponuja fotografija? Gotovo je to odvisno od vsebine fotografije, seveda pa tudi od gledalca. Vzemimo na primer naslednjo fotografijo para.jpg Večina ljudi bo opazila motorni čoln, ki vleče padalca, morje in hribe (Cres) v ozadju, spomnili se bodo na poletje in počitnice, najbolj dovzetni bodo celo zaznali vonj po borovcih in morju. Pa je to vse, kar lahko izluščimo iz te fotke? Fizik (pa tudi forenzik, ki med drugim uporablja tudi fizikalne metode) pravi, da ne. Ve, da za objekte na fotografiji veljajo naravni zakoni, ki omogočajo globji pogled in določitev ene ali več fizikalnih količin. Zato to fotografijo uvozi v kak program, za  šolarje je več kot primerna Geogebra, in nariše sile, ki delujejo na padalca (bolj precizno na točko, kjer se stikata vrv čolna, padalo in vrv, na kateri visi padalec). Najprej nariše silo padalca F_g, ki je po velikosti in smeri enaka njegovi teži in jo oceni (skupaj s padalom in vrvjo) na F_g=1000N. Nato nariše še preostali sili, silo vrvi F_v v smeri vrvi, s katero vleče čoln, in silo upora padala F_u, ki kaze v smer simetrijske osi padala. Smeri sil so tako določene, velikosti pa mu pomaga določiti 1. Newtonov zakon, ki pravi, da je vektorska vsota sil, ki delujejo na enakomerno gibajoče se telo, enaka 0, torej

    \[\vec{F_g}+\vec{F_u}+\vec{F_v}=\vec{0}.\]

para5 V praksi to pomeni, da sile lahko vzporedno premaknemo v trikotnik in kar z merjenjem (ročno ali bolj natančno z Geogebro) določimo velikost preostalih dveh sil. Narisane sile v Geogebri. para7   Tako je torej fizik določil velikosti vseh sil, ki delujejo na njihovo stično točko. A zgodbe še zdaleč ni konec. Upoštevamo namreč še, da je velikost sile upora po kvadratnem zakonu premo sorazmerna s kvadratom hitrosti gibanja skozi zrak, natančneje

    \[F_u=c_uS\frac{\rho v^2}{2}.\]

Pri tem je c_u koeficient upora, S  presek padala, \rho=1,2kg/m^3 gostota zraka in v hitrost zraka v smeri geometrijske osi padala. Ocenimo npr. S=20m^2 in c_u=1, pa lahko iz zgornje formule izračunamo hitrost v:

    \[v=\sqrt{\frac{2F_u}{c_u\rho S}}=13\frac{m}{s}.\]

Čoln se mora torej gibati s hitrostjo v_c=v\cos{50^o}=8,3m/s=30km/h.   Zvemo lahko tudi minimalno moč P_1, ki jo čoln potrebuje za vleko padalca. Pri enakomernem gibanju namreč velja

    \[P_1=\vec{F}\cdot \vec{v}=F_vv_c\cos{23^o}=12kW.\]

Morda pa se da iz fotografije izvedeti še kaj. Če k tej moči prištejemo še moč P_2, ki jo čoln potrebuje za premikanje po morju

    \[P_2=c_{uc}S_c \frac {\rho_v v_{c}^3}{2}=0,2\cdot 3m^2 \cdot \frac{1000kg} {m^2 } \cdot \frac{70 m^2} {2s^2}\cdot 8,3\frac{m}{s}=57kW,\]

(ocenili smo koeficient upora c_{uc}=0,1 in prečni presek čolna S_c=2m^2) ugotovimo, da mora biti moč motorja P na čolnu približno

    \[P=P_1+P_2=79kW.\]

Zanimivo, večino moči porabi čoln za premikanje po morju, samo slabo  šestino pa za držanje padalca v zraku.

Seveda fotka skriva še več informacij. Morda bi koga zanimalo, kdaj in kje je bila posneta. A to ni več zelo fizikalna tema…

Generator pravokotne in trikotne napetosti

Objavljeno ,

Skoraj poljubna periodična funkcija se lahko izrazi kot neskončna vsota sinusov in cosinusov. Postopku pravimo razvoj funkcije v Fourierovo vrsto. Približek funkcije pa dobimo, če seštejemo samo nekaj prvih členov vrste.

Na voljo imaš pet sinusnih napetosti, katerim lahko nastavljaš amplitudo in (krožno) frekcenco. Sestavi iz njih približka za:

  • pravokotno napetost
  • trikotno napetost.

Interferenca točkastih valovanj v ravnini

Objavljeno ,

V osemdesetih smo v okviru usmerjenega izobraževanja v fiziki jemali nihanje in valovanje kot nadaljevanje fizike iz osnovne šole.   Pouk v prvem letniku je bil imenitno pripravljen, učbenik so predstavljali trije snopiči, izdan pa je bil tudi priročnik za učitelja, na šole je prišlo cel kup eksperimentalne opreme.  Med to opremo sta bil tudi foliji s koncentričnimi krogi, skaterima se je dalo simulirati interferenco (seštevanje) valovanj iz dveh točkastih izvorov. Na mestih v ravnini, kjer prideta skupaj dva hriba valovanja ali dva dola, se valovanjr ojači, kjer prideta hrib in dol ali obratno, pa izgine. Pri interferenci valovanj dobimo torej ojačitve in oslabitve. Vidiš jih, če premikaš drsnik na spodnji animaciji.

Če označimo razdaljo prvega izvora do izbrane točke v ravnini z r_1, razdaljo drugega izvora pa za r_2, se izkaže, da je pogoj, da bo na tem mestu nastala ojačitev, zahteva, da znaša razlika teh razdalj večkratnik valovne dolžine valovanja, torej

    \[|r_1-r_2|=N\lambda,~N=0,1,2,3,\dots,\]

oslabitev pa, če bo razlika teh razdalj enaka lihemu večkratniku polovične valovne dolžine, torej

    \[|r_1-r_2|=(2N+1)\frac{\lambda}{2},~N=0,1,2,3,\dots.\]

Tisti s končanim tretjim letnikom srednje šole boste seveda prepoznali obliko nastalih krivulj.