Znana limita in njena uporaba

Objavljeno ,

V srednji šoli se četrtošolci srečajo z limito

    \[\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1.\]

Dokaz najdejo v svojem učbeniku. Med primeri uporabe te limite pa pogosto umanjkata naslednja:

plošćina kroga

Imejmo krog s središčem T in polmerom r, po Arhimedovo mu včrtajmo n-kotnik. Le-ta je iz n skladnih enakokokrakih trikotnikov , njegova ploščina torej znaša

    \[S_n=nr^2\sin{\frac{\pi}{n}}\cos{\frac{\pi}{n}}=\frac{nr^2\sin{\frac{2\pi}{n}}}{2}.\]

Če večamo n, gre ploščina n-kotnika proti ploščini kroga, zato je ploščina kroga S enaka

    \[S=\lim_{n\to \infty}{S_n}=\frac{r^2}{2}\lim_{n\to\infty}{\frac{nr^2\sin{\frac{2\pi}{n}}}{2}}= \frac{2\pi r^2}{2}\lim_{n\to\infty}{\frac{\sin{\frac{2\pi}{n}}}{\frac{2\pi}{n}}}\]

Uvedimo u=\frac{2\pi}{n} in opazimo, da ko gre n\to \infty, gre u\to 0, pa lahko pišemo

    \[S= \pi r^2\lim_{u\to 0}{\frac{\sin{u}}{u}}=\pi r^2.\]

Dokazali smo torej obrazec za ploščino kroga.

Izračun Ludolfovega Števila

Uporabimo večkrat obrazec za sinus dvojnega kota, pa dobimo produkt n faktorjev

    \[\sin{x}=2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}=\]

    \[=2^2\cos{\frac{x}{2}}\sin{\frac{x}{4}}\cos{\frac{x}{4}}=\dots\]

    \[\dots=2^n\sin{\frac{x}{2^n}}\cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2^2}}\dots\cos{\frac{x}{2^n}}.\]

Delimo zgornjo enačbo z x, pa dobimo

    \[\frac{\sin{x}}{x}=\frac{2^n}{x}\sin{\frac{x}{2^n}}\cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2^2}}\dots\cos{\frac{x}{2^n}}\]

ali

    \[\frac{\sin{x}}{x}=\frac{\sin{\frac{x}{2^n}}}{\frac{x}{2^n}}\cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2^2}}\dots\cos{\frac{x}{2^n}}\]

V prvem faktorju na desni prepoznamo nastavek znane limite in ko gre n\to\infty , gre ta faktor proti 1, dobimo pa produkt neskončnih cosinusov:

    \[\frac{\sin{x}}{x}=\cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2^2}}\cos{\frac{x}{2^3}}\dots\]

Na spletu najdemo,da je ta obrazec prvi našel slavni L.Euler.  A če vanj vstavimo x=\frac{\pi}{2}, dobimo

    \[\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\dots\]

Ta izraz pa je objavil Francois Viète leta 1593, torej več kot stoletje prej. Gre tudi za prvi primer zapisa neskončnega produkta sploh.

 

Ta vnos je objavil Vinc v Matematika, Razno, šola in zaznamoval z , , . Dodaj zaznamek do trajne povezave .

O Vinc

Končal gimnazijo v Črnomlju 1971, pričel honorarno poučevati na tej gimnaziji v šol.letu 1973/74, se v šol. letu 1976/77 zaposlil kot učitelj matematike, leta 1978 diplomiral iz pedagoške matematike pri dr. Niku Prijatelju s temo Galoisova teorija. Na gimnaziji in poklicni kovinarski šoli učil matematiko, fiziko, fizikalna merjenja, računalništvo ter informatiko, dokumentaristiko in arhivistiko. Dolgoletni mentor šahovskega, fotografskega, fizikalnega, računalniškega in astronomskega krožka. Absolvent 3. stopnje pedagoške fizike, v 90. letih član skupine za prenovo gimnazijske fizike, avtor programske opreme za merilno krmilni vmesnik pri pouku fizike, soavtor učbenikov za gimnazijo Fizika-Mehanika in Fizika-Elektrika. Mentor trinajstim raziskovalnim nalogam v okviru Gibanja Znanost mladini ter trem raziskovalnim nalogam v okviru Krkinih nagrad in številnim tekmovalcem iz logike, lingvistike, matematike, fizike, astronomije in računalništva. Mentor 2. spletne strani šole in prve strani o Beli krajini leta 1997, pobudnik in od 2007 do 2010 urednik spletnih učilnic Srednje šole Črnomelj. Pobudnik šolske Facebook strani. Vinogradnik, sadjar, čebelar, bloger. Več najdete na njegovi spletni strani.