Arhiv Značk: Einstein

PTR v srednji šoli(10)

Objavljeno ,

povečanje mase

Zadnjič smo ugotovili, da so dogodki, kot jih izmerita postajenačelnik in sprevodnik, štiri razsežni vektorji v prostoru-času. Če upoštevamo, da se koordinati y in z, ki sta prečni na gibanje vlaka, ne spreminjata, zadošča, da pišemo samo dvorazsežne vektorje, torej

    \[\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}\]

     in    

    \[\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\end{bmatrix}\]

Tudi druge količine nastopajo v PTR v parih. Hitrost,  kot jo izmeri postajenačelnik, je npr. odvod dogodka po času, torej

    \[\begin{bmatrix}\dot{ct}\\\dot{x}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\\v\end{bmatrix}\]

      in    

    \[\begin{bmatrix}\dot{ct^\prime}\\\dot{x^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\\v^\prime\end{bmatrix}.\]

Ravno tako zapišemo gibalno količino v obeh sistemih

    \[\begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}\]

      in     

    \[\begin{bmatrix}{G_o^\prime}\\{G^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}m^\prime c\\m^\prime v^\prime\end{bmatrix}.\]

Vemo že, da  dogodka tudi gibalni količini, ki ju  izmerita sprevodnik in postajenačelnik, vežeta Lorentzovi transformaciji

    \[ \begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}G_o^\prime\\G^\prime\end{bmatrix} \]

Opazujmo telo, ki se pelje v vlaku in miruje glede na sprevodnika, tako da on izmeri lastno maso telesa

    \[m^\prime=m_o\]

Njegova gibalna količina je za postajenačelnika

 

    \[\begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}\]

,

za sprevodnika pa

    \[\begin{bmatrix}{G_o^\prime}\\{G^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}m_o c\\0\end{bmatrix}.\]

Vstavimo to v Lorentzove transformacije, pa dobimo

    \[ \begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}m_oc\\0\end{bmatrix} \]

Prva vrstica nam da

    \[mc=\frac{m_oc}{\sqrt{1-\beta^2}},\]

druga pa

    \[mv=\frac{\beta m_oc}{\sqrt{1-\beta^2}}.\]

Upoštevajmo v obeh relacijah, da je

    \[\beta=\frac{v}{c},\]

pa dobimo obakrat

    \[m=\frac{m_o}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.\]

Masa delca se torej poveča za vse opazovalce, ki ne mirujejo glede nanjo. Povečanje je skladno z relativističnim faktorjem, svetlobni hitrosti bi ustrezala naskončna masa delca. Posledica tega je, da delec, ki mirovno maso ima, ne more doseči svetlobne hitrosti.

Tako se lahko s svetlobno hitrostjo lahko gibljejo samo delci brez mirovne mase, npr. fotoni. Vendar se delci z mirovno maso, kot so npr. elektroni ali protoni, lahko, če imajo dovolj energije (npr. v pospeševalnikih) tej hitrostil zelo približajo.

NAZAJ NAPREJ

PTR v srednji šoli(9)

Objavljeno ,

Lorenzove transformacije lahko zapišemo v kompaktnejši matrični obliki:

    \[ \begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\end{bmatrix} \]

V njej nastopa Lorenzova matrika

    \[ \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}&\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}\\\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}&\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \end{bmatrix}\quad\quad\quad(1) \]

Prvo koordinato v levem vektorju enačbe (1) dobimo tako, da skalarno pomnožimo 1. vrstico matrike z desnim vektorjem in podobno tudi 2. koordinato. Pred matriko je relativistični faktor.

Opazimo, da se s svetlobno hitrostjo c pomnoženi čas v zapisu obnaša tako kot koordinata x. Če pišemo še koordinati y in z, ki sta prečni na smer gibanja, dobimo

    \[ \begin{bmatrix} ct\\x\\y\\z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \gamma& \gamma\beta&0&0\\\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} ct^\prime\\x^\prime\\y^\prime\\z^\prime\end{bmatrix} \]

Seveda tudi tu velja, da dobimo i-to komponento levega vektorja tako, da skalarno pomnožimo i-to vrstico matrike z desnim vektorjem. Še obratna Lorenzova transformacija:

    \[ \begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\\y^\prime\\z^\prime \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \gamma& -\gamma\beta&0&0\\-\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z \end{bmatrix} \]

Relacije nam ponujajo odgovor na vprašanje, kaj je čas. Čas je pač ena od koordinat štirirazsežnega prostora-časa. Vektorju

    \[ \begin{bmatrix} ct\\x\\y\\z \end{bmatrix}\]

pravimo dogodek  v prostoru- času. Lorentzove transformacije nam pomagajo preračunavati dogodke iz enega v drug inercialni sistem v prostoru-času.

NAZAJ NAPREJ

PTR v srednji šoli(4)

Objavljeno ,

NOVE TRANSFORMACIJE

Srečamo se torej s čisto matematičnim problemom – iščemo  linearno transformacijo, ki prevede točko (u,v) v točko (u^\prime,v^\prime) tako, da  velja zveza

    \[u^{\prime 2}-v^{\prime 2}=u^2-v^2.\]

Ker je transformacija linearna,  jo iščemo v obliki

    \[u=Au^\prime +Bv^\prime \qquad v=Cu^\prime +Dv^\prime ,\]

pri čemer so A, B,C in D konstante, ki jih je treba določiti. Vstavimo zato te transformacije v zgornjo enačbo, pa dobimo

    \[(Au^\prime+Bv^\prime )^2-(Cu^\prime+Dv^\prime )^2=u^{\prime2}-v^{\prime 2}.\]

Po kvadriranju in primerjanju koeficientov dobimo naslednje enačbe

    \[A^2-C^2=1,\quad AB=CD, \quad C^2-D^2=-1.\]

Imamo torej tri enačbe in štriri neznanke. Zato uvedemo parameter

    \[\beta=\frac{C}{A}=\frac{B}{D}\]

ter z njim izrazimo vse koeficiente. Dobimo

    \[A=D=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad B=C=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}\]

Iskane transformacije so torej

    \[u=\frac{u^\prime+\beta v^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad v=\frac{\beta u^\prime+v^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},\]

obratne transformacije pa

    \[u^\prime=\frac{u-\beta v}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad v^\prime=\frac{-\beta u+v}{\sqrt{1-\beta^2}}.\]

Naslednjič pa jim bomo dali fizikalni pomen.
NAZAJ        NAPREJ

PTR v srednji šoli(3)

Objavljeno ,

Oba inercialna sistema so povezovale Galilejeve transformacije, a te smo v zadnjem poglavju razglasi za neveljavne. Potrebujemo torej nove transformacije.

Vprašamo se, ali je kaj, kar opišeta enako oba,  sprevodnik in postajenačelnik.  Odgovor nam spet prinese naslednji miselni poskus:

Mislimo si, da se vlak s sprevodnikom približuje postajenačelniku. Koordinatna sistema obeh imata vzporedne osi, vlak in z njim gibajoći se koordinatni sistem pa se giblje  v smeri  postajenačelnikove x-osi.  V trenutku, so oba koordinatna sistema pokrijeta, na vlaku zasveti okrogla luč..  Sprevodnik  opiše svetlobo kot krogelni val, ki se širi s hitrostjo svetlobe c na vse strani, torej

    \[x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=c^2t^{\prime 2}.\]

.

Postajenačelnik pa val opiše podobno, a v svojih koordinatah

    \[x^{2}+y^{2}+z^{ 2}=c^2t^{2}.\]

Vidimo torej, da sta opisa enaka. Velja torej

    \[x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}=x^{2}+y^{2}+z^{ 2}-c^2t^{2}.\]

.

Ker se vlak giblje prečno na koordinate

    \[y,y^\prime, z, z^\prime,\]

je

    \[y=y^\prime,\quad z=z^\prime,\]

pa se zgornja zveza še poenostavi v

    \[x^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}=x^{2}-c^2t^{2}.\]

.

Iščemo torej linearno transformacijo, ki bo zadostila zgornji enačbi.

NAZAJ NAPREJ