PTR v srednji šoli(4) - Vincenc Petruna Blog

NOVE TRANSFORMACIJE

Srečamo se torej s čisto matematičnim problemom – iščemo linearno transformacijo, ki prevede točko $(u,v)$ v točko $(u^\prime,v^\prime)$ tako, da velja zveza

$u^{\prime 2}-v^{\prime 2}=u^2-v^2.$

Ker je transformacija linearna, jo iščemo v obliki

$u=Au^\prime +Bv^\prime \qquad v=Cu^\prime +Dv^\prime ,$

pri čemer so A, B,C in D konstante, ki jih je treba določiti. Vstavimo zato te transformacije v zgornjo enačbo, pa dobimo

$(Au^\prime+Bv^\prime )^2-(Cu^\prime+Dv^\prime )^2=u^{\prime2}-v^{\prime 2}.$

Po kvadriranju in primerjanju koeficientov dobimo naslednje enačbe

$A^2-C^2=1,\quad AB=CD, \quad C^2-D^2=-1.$

Imamo torej tri enačbe in štriri neznanke. Zato uvedemo parameter

$\beta=\frac{C}{A}=\frac{B}{D}$

ter z njim izrazimo vse koeficiente. Dobimo

$A=D=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad B=C=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}$

Iskane transformacije so torej

$u=\frac{u^\prime+\beta v^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad v=\frac{\beta u^\prime+v^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},$

obratne transformacije pa

$u^\prime=\frac{u-\beta v}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad v^\prime=\frac{-\beta u+v}{\sqrt{1-\beta^2}}.$

Naslednjič pa jim bomo dali fizikalni pomen.

NAZAJ NAPREJ