Neskončna lestev, zlati rez in zajčki

Objavljeno ,

Imamo neskončno lestev enakih uporov z upornostjo R=1\Omega.

Kolikšna je nadomestna upornost vezja R_x?

Značilni prijem za tovrstne naloge je, da vezju z nadomestno upornostjo R_x dodamo eno vejo.

Velja

    \[R+\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R_x}}=R_x\]

    \[R+\frac{R\cdot R_x}{R+R_x}=R_x\]

po ureditvi dobimo kvadratno enačbo za R_x

    \[R_x^2-R\cdot R_x-R^2=0\]

    \[R_{x}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2} R\]

 

Fizikalno smiselna je le pozitivna rešitev s približkom R_x=\varphi=1,618....
R_x je pravzaprav enak številu zlatega reza \varphi.

Če pa po drugi strani pogledamo nekaj zaporednih približkov vezja, dobimo naslednje:

 

R_1=R=1

R_2=R+R=2R=2

R_3=\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R_2}}=\frac{3}{2}R=1,5

R_4=R+1/(1/R+1/(R_3))=R+2R/3=5R/3=1,666

R_5=1/(1/R+1/(R_4))=8R/5=1,6

R_6=R+1/(1/R+1/(R_5))=R+5R/8=13R/8=1,625

R_7=1/(1/R+1/(R_6))=21R/13=1,615

in tako naprej.

Zaporedne vrednosti

    \[\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8}, \frac{21}{13}, ...\]

alternirajo okrog končne rešitve.

In kje so zajčki? Odgovor prepuščamo bravcu.

3 thoughts on “Neskončna lestev, zlati rez in zajčki”

  1. O, hvala, zelo lepo zgleda, posebej 1.del, kjer si ulomke pisal, kot se spodobi. Je pa grafika nekam motna. Bi morda poskusil TikZ? Rabiš Qtikz in nekaj priročnikov (začneš z minimal tikz, nadaljuješ s tikz manual 2.10…..

Komentiranje zaprto.