Neskončni vgnezdeni radikali in podobne pošasti

Objavljeno ,

Poglejmo, kaj imajo skupnega  naslednje naloge:

    1. Določi vrednost izraza

          \[ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}},\]

    2. Določi vrednost izraza

          \[ \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\dots}}}},\]

    3. Določi vrednost verižnega ulomka

          \[1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}}\]

    4. Določi vrednost nadomestnega upora v neskončni verigi uporov na skici, če je R_1=10\Omega  in R_1=15\Omega. .

neskoncno vezje

Rešitev: Vse naloge so take, da lahko nadomestimo del izraza s celotnim

  1. Označimo

        \[x=\sqrt{2+\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}}_{x}},\]

    Če celoten izraz izrazimo z x, dobimo enačbo

        \[x=\sqrt{2+x}\]

    . Rešitev te enačbe, ki ustreza, je x=2.

  2. Ravno tako označimo

        \[x= \sqrt{2\underbrace{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\dots}}}}_{x}},\]

    dobimo enačbo

        \[x^2=2x\]

    , kateri ustreza rešitev x=2.

  3. Podobno označimo

        \[x=1+\frac{1}{\underbrace{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}}_{x}}\]

    . Tokrat dobimo enačbo

        \[x=1+\frac{1}{x}\]

      oziroma kvadratno enačbo

        \[x^2-x-1=0,\]

    ki ima za rešitev zlato število

        \[\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.\]

  4. Opazimo, da to vezje lahko nadomestimo z vezjemki ima nadomestni upor

        \[R=2R_1+\frac{R_2R}{R_2+R}.\]

       Od tod dobimo  kvadratno enačbo 

        \[R^2-2R_1R-2R_1R_2=0,\]

    ki ima  rešitev

        \[R=R_1+\sqrt{R_1^2+2R_1R_2}=30\Omega.\]

Ta vnos je objavil Vinc v Razno. Dodaj zaznamek do trajne povezave .

O Vinc

Končal gimnazijo v Črnomlju 1971, pričel honorarno poučevati na tej gimnaziji v šol.letu 1973/74, se v šol. letu 1976/77 zaposlil kot učitelj matematike, leta 1978 diplomiral iz pedagoške matematike pri dr. Niku Prijatelju s temo Galoisova teorija. Na gimnaziji in poklicni kovinarski šoli učil matematiko, fiziko, fizikalna merjenja, računalništvo ter informatiko, dokumentaristiko in arhivistiko. Dolgoletni mentor šahovskega, fotografskega, fizikalnega, računalniškega in astronomskega krožka. Absolvent 3. stopnje pedagoške fizike, v 90. letih član skupine za prenovo gimnazijske fizike, avtor programske opreme za merilno krmilni vmesnik pri pouku fizike, soavtor učbenikov za gimnazijo Fizika-Mehanika in Fizika-Elektrika. Mentor trinajstim raziskovalnim nalogam v okviru Gibanja Znanost mladini ter trem raziskovalnim nalogam v okviru Krkinih nagrad in številnim tekmovalcem iz logike, lingvistike, matematike, fizike, astronomije in računalništva. Mentor 2. spletne strani šole in prve strani o Beli krajini leta 1997, pobudnik in od 2007 do 2010 urednik spletnih učilnic Srednje šole Črnomelj. Pobudnik šolske Facebook strani. Vinogradnik, sadjar, čebelar, bloger. Več najdete na njegovi spletni strani.

One thought on “Neskončni vgnezdeni radikali in podobne pošasti”

  1. “Opazimo, da to vezje lahko nadomestimo z vezjem”

    he, he, ‘opazimo’ – zanimiv način reševanja …

Komentiranje zaprto.