Neskončni vgnezdeni radikali in podobne pošasti

By Vinc / 15. januarja, 2013

Poglejmo, kaj imajo skupnega naslednje naloge:

Določi vrednost izraza
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}},$
Določi vrednost izraza
$\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\dots}}}},$
Določi vrednost verižnega ulomka
$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}}$
Določi vrednost nadomestnega upora v neskončni verigi uporov na skici, če je $R_1=10\Omega$ in $R_1=15\Omega.$ .

Rešitev: Vse naloge so take, da lahko nadomestimo del izraza s celotnim

Označimo
$x=\sqrt{2+\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}}_{x}},$

Če celoten izraz izrazimo z x, dobimo enačbo

$x=\sqrt{2+x}$

. Rešitev te enačbe, ki ustreza, je $x=2.$
Ravno tako označimo
$x= \sqrt{2\underbrace{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\dots}}}}_{x}},$

dobimo enačbo

$x^2=2x$

, kateri ustreza rešitev $x=2.$
Podobno označimo
$x=1+\frac{1}{\underbrace{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}}_{x}}$

. Tokrat dobimo enačbo

$x=1+\frac{1}{x}$

oziroma kvadratno enačbo

$x^2-x-1=0,$

ki ima za rešitev zlato število

$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$
Opazimo, da to vezje lahko nadomestimo z vezjemki ima nadomestni upor
$R=2R_1+\frac{R_2R}{R_2+R}.$

Od tod dobimo kvadratno enačbo

$R^2-2R_1R-2R_1R_2=0,$

ki ima rešitev

$R=R_1+\sqrt{R_1^2+2R_1R_2}=30\Omega.$

1 thought on “Neskončni vgnezdeni radikali in podobne pošasti”

Andrej
18. januarja, 2013 at 23:15

“Opazimo, da to vezje lahko nadomestimo z vezjem”

he, he, ‘opazimo’ – zanimiv način reševanja …

Comments are closed.