Sangaku(4)

By /

Četrta japonska uganka je zelo lepa, a morda malo težja – ali pa tudi ne?

Določite polmer katerega od skladnih krogov, če je stranica kvadrata enaka 1. Določi tudi kot med poševnico skozi spodnje levo oglišče in osnovnico kvadrata.

8 thoughts on “Sangaku(4)”

    1. Vinc

      Prvi polmer je Andrejev, drugi pa moj:
      R=0.1830127018922193233818615853764680917357013134525951
      R=0.1830127018922193233818615853764680917357…

      Bravo Andrej, upam, da se strinjaš, da je naloga zrlo zanimiva. Bojim se le, da ne prestrašiš koga s tako velikim številom, saj je iskani polmer rešitev kvadrante enačbe, kar daje nalogi še poseben čar. Tako WolframAlphe sploh ni treba kurblati, vse gre na žgance…:-)Zaradi trigonometrije in razcepljanja polinoma 4. stopnje spada naloga nekam v 3. letnik…. še vedno rabimo točen rezultat, a Andrej, prepustiva to mlajšim…:-)

  3. andrej

    Skica: http://premetanke.blogspot.com/2012/02/sangaku-4.html (lahko neposredno vključim sliko?)

    Oglejmo si pravokotni trikotnik v sredini. Iz skice vidimo, da je hipotenuza dolga 4R, daljša kateta pa je 1-2R, krajša pa x.

    Podobni mali trikotnik spodaj pa ima krajšo kateto R, hipotenuzo pa x. Velja torej razmerje:
    x/R= 4R/x

    ter iz tega x=2R

    Iz tega hitro razberemo kot

    alfa = arcsin(R/(2R)=30^o.

    V velikem pravokotnem trikotniku pa imamo:

    (4R)^2=(1-2R)^2+(2R)^2

    ali drugače

    8R^2+4R-1=0

    rešimo kvadratno enačbo in vzamemo pozitivno rešitev

    R = (sqrt(3)-1)/4.

  4. Vinc

    Glede vstavljanja skic v komentarje, kaže, da (še) ne gre. A ker je vse na vtičnike, upam, da bom našel kak vtičnik tudi za to….:-)
    Grede postopka reševanja – zanimivo je, da obstaja več različnih načinov. Sam sem izbral za neznanki polmer kroga in kot x med poševnico v spodnjem levem oglišču in osnovnico. Prvo enačbo dobim iz tvoje lomljene nčrte na skici:
    2R+4R\cos{x}=1,

    drugo pa izbezam iz spodnjega desnega štirikotnika, ki ima vodoravno stranico

        \[1-\tan{x}.\]

    Dobim

        \[2R=(1-\tan{x})\cos{x}=\cos{x}-\sin{x}\]

    Potem pa ti enačbi rešim!

    2. Vinc

      …tudi meni je tvoj način bolj všeč, ker je bolj elementaren…in v tem je čar teh sangakujev, da so nekateri rešljivi na različne načine in na različni ravni zahtevnosti…
      …snežinke?…kje je še prvi pomladni dan…:)

Comments are closed.

Scroll to Top