Razdalja točke od premice(1)

Objavljeno ,

Razdalja točke od premice v ravnini je poglavje, ki je iz slovenskih učbenikov izginilo pred nekako tridesetimi leti. Pred tem ga najdemo v Križaničevih učbenikih z izpeljavo, ki se mi ne zdi najbolj posrečena. Morda bi bilo bolje ravnati takole:

Primerjajmo najprej obliko enačbe premice skozi  točki T_1(x_1,y_1) in T_2(x_2,y_2) ter njeno implicitno obliko

    \[ax+by+c=0.\]

.  Spremenimo prvo obliko

    \[y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}{(x-x_1)}\]

v drugo, pa po ureditvi  dobimo

    \[(y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+x_1y_2-x_2y_1=0.\]

Opazimo, da je

    \[y_1-y_2=a,\quad x_2-x_1=b\]

in

    \[x_1y_2-x_2y_1=c.\]

  Te zveze bomo uporabili pri izpeljavi razdalje točke od premice.

Sedaj pa k nalogi: Imejmo  v ravnini premico p, ki je podana v implicitni obliki ax+by+c=0. Poleg tega imejmo še točko T_o(x_o,y_o) in radi bi določili razdaljo d(T_o,p) te točke od premice, kot je razvidno na skici:



Izberimo na tej premici poljubni točki T_1(x_1,y_1) in T_2(x_2,y_2). Opazimo, da točke T_o, T_1 in T_2 tvorijo oglišča trikotnika in iskana razdalja d je ravno višina trikotnika. Višino pa lahko  dobimo iz ploščine trikotnika, to pa znamo izračunati. Torej lahko zapišemo

    \[d(T_o,p)=\frac{2S}{d(T_1,T_2)},\]

pri čemer je

    \[S=\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}x_1-x_o&y_1-y_o\\x_2-x_o&y_2-y_o\end{Vmatrix}\]

ploščina trikotnika,

    \[d(T_1,T_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{a^2+b^2}\]

pa dolžina osnovnice trikotnika, torej razdalja med točkama  T_1(x_1,y_1) in T_2(x_2,y_2).  Torej je

    \[d(To,p)=\frac{|x_1y_2+x_oy_o-x_1y_o-x_oy_2-x_2y_1-x_oy_o+x_2y_o+x_oy_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]

Ko uredimo še števec, dobimo ravno

    \[d(T_o,p)=\frac{|ax_o+by_o+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]

kar je iskani obrazec.  Opazimo lahko, da je premica z enačbo ax+by+c=0 od izhodišča koordinatnega sistema oddaljena za

    \[\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]

Ta vnos je objavil Vinc v Matematika in zaznamoval z . Dodaj zaznamek do trajne povezave .

O Vinc

Končal gimnazijo v Črnomlju 1971, pričel honorarno poučevati na tej gimnaziji v šol.letu 1973/74, se v šol. letu 1976/77 zaposlil kot učitelj matematike, leta 1978 diplomiral iz pedagoške matematike pri dr. Niku Prijatelju s temo Galoisova teorija. Na gimnaziji in poklicni kovinarski šoli učil matematiko, fiziko, fizikalna merjenja, računalništvo ter informatiko, dokumentaristiko in arhivistiko. Dolgoletni mentor šahovskega, fotografskega, fizikalnega, računalniškega in astronomskega krožka. Absolvent 3. stopnje pedagoške fizike, v 90. letih član skupine za prenovo gimnazijske fizike, avtor programske opreme za merilno krmilni vmesnik pri pouku fizike, soavtor učbenikov za gimnazijo Fizika-Mehanika in Fizika-Elektrika. Mentor trinajstim raziskovalnim nalogam v okviru Gibanja Znanost mladini ter trem raziskovalnim nalogam v okviru Krkinih nagrad in številnim tekmovalcem iz logike, lingvistike, matematike, fizike, astronomije in računalništva. Mentor 2. spletne strani šole in prve strani o Beli krajini leta 1997, pobudnik in od 2007 do 2010 urednik spletnih učilnic Srednje šole Črnomelj. Pobudnik šolske Facebook strani. Vinogradnik, sadjar, čebelar, bloger. Več najdete na njegovi spletni strani.

2 thoughts on “Razdalja točke od premice(1)”

Komentiranje zaprto.