Izmed vseh matematičnih nalog iz svojih gimnazijskih časov mi je v spominu najdlje ostala  naslednja:

V gradu straši, a ne vsako noč. Zagotovo straši, če prejšnjo noč ni strašilo. Če pa je prejšnjo noč strašilo, je enako verjetno, da to noč straši, kot da ne straši. V noči od srede na četrtek je strašilo. Kolika je verjetnost, da bo strašilo v noči od nedelje na ponedeljek?

Nalogo  je v šestdesetih letih objavil France Križanič v tretjem od svojih slavnih učbenikov za matematiko v gimnaziji Aritmetika, algebra in analiza, nekoliko spremenjeno pa jo najdemo tudi v njegovih kasnejših učbenikih.  Naloga sodi med markovske verige,  poglavju iz verjetnostnega računa, ki se imenuje po ruskem matematiku Andreju Andrejeviču Markovu.  Poglavje ni našlo svojega prostora v gimnazijskih učbenikih ne prej ne kasneje. Zakaj ne prej, je še razumljivo, saj si je Križanič prizadeval  posodobiti gimnazijsko matematiko in mu je to tudi uspelo. Kasneje pa je v gimnazijsko ladjo vkrcalo preveč potnikov in v skrbi, da jim ne bi bilo kaj pretežko, so vrgli proč večino njegovih posodobitev.

Zaporedju poskusov, ko se vsakič zgodi natanko eden od nezružljivih dogodkov

in je verjetnost  , da se bo v naslednjem poskusu zgodil , odvisna samo od dogodka iz tekočega poskusa in od , pravimo veriga Markova ali markovska veriga. Posamezne verjetnosti zapišemo v kvadratni prehodni matriki

Vsota verjetnosti v vsaki vrstici marike je

saj se eden od dogodkov gotovo  zgodi.

Vrnimo se k reševanju naše naloge:

z označimo “straši”, z pa “ne straši”.  Potem elementi naše prehodne matrike pomenijo naslednje:

• – verjetnost, da naslednjo noč straši, če je prejšnjo strašilo,
• – verjetnost, da naslednjo noč ne straši, če je prejšnjo strašilo,
• – verjetnost, da naslednjo noč straši, prejšnjo ni strašilo,
• – verjetnost, da naslednjo noč ne straši, če prejšnjo ni strašilo.

Iz teksta naloge preberemo naslednjo prehodno matriko

Kaj pa po dveh nočeh? Označimo z

• – verjetnost, da naslednjo noč straši, če je pred dvema strašilo,
• – verjetnost, da naslednjo noč ne straši, če je pred dvema strašilo,
• – verjetnost, da naslednjo noč straši, pred dvema ni strašilo,
• – verjetnost, da naslednjo noč ne straši, če pred dvema ni strašilo.

Dogodek, da to noč straši, če je pred dvema strašilo, se lahko zgodi takole: straši vse tri noči zapored ali pa straši – ne straši – straši. Dogodki so med seboj neodvisni, produkti pa nezdružljivi. Zato lahko zapišemo:

Po podobnem premisleku dobimo še tri enačbe:

V zadnjih enačbah prepoznamo elemente kvadrata prehodne matrike . Če torej označimo s prehodno matriko po dveh korakih  (nočeh), je

Brez težav posplošimo na prehodno matriko za n korakov. Uganili ste

Preostane še, da preštejete , koliko je noči, izračunate ustrezno prehodno matriko, v njej pogledate pravi element in mi sporočite rezultat.