Najljubša naloga

Izmed vseh matematičnih nalog iz svojih gimnazijskih časov mi je v spominu najdlje ostala  naslednja:

V gradu straši, a ne vsako noč. Zagotovo straši, če prejšnjo noč ni strašilo. Če pa je prejšnjo noč strašilo, je enako verjetno, da to noč straši, kot da ne straši. V noči od srede na četrtek je strašilo. Kolika je verjetnost, da bo strašilo v noči od nedelje na ponedeljek?

Nalogo  je v šestdesetih letih objavil France Križanič v tretjem od svojih slavnih učbenikov za matematiko v gimnaziji Aritmetika, algebra in analiza, nekoliko spremenjeno pa jo najdemo tudi v njegovih kasnejših učbenikih.  Naloga sodi med markovske verige,  poglavju iz verjetnostnega računa, ki se imenuje po ruskem matematiku Andreju Andrejeviču Markovu.  Poglavje ni našlo svojega prostora v gimnazijskih učbenikih ne prej ne kasneje. Zakaj ne prej, je še razumljivo, saj si je Križanič prizadeval  posodobiti gimnazijsko matematiko in mu je to tudi uspelo. Kasneje pa je v gimnazijsko ladjo vkrcalo preveč potnikov in v skrbi, da jim ne bi bilo kaj pretežko, so vrgli proč večino njegovih posodobitev.

Zaporedju poskusov, ko se vsakič zgodi natanko eden od nezružljivih dogodkov

    \[A_1,A_2,\dots ,A_n\]

in je verjetnost  p_{ij}, da se bo v naslednjem poskusu zgodil A_j, odvisna samo od dogodka A_i iz tekočega poskusa in od A_j, pravimo veriga Markova ali markovska veriga. Posamezne verjetnosti p_{ij} zapišemo v kvadratni prehodni matriki

    \[P=\left[\begin{matrix} p_{11},&p_{12},&\dots&p_{1n}\\ p_{21},&p_{22},&\dots&p_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ p_{n1},&p_{n2},&\dots&p_{nn}\\ \end{matrix}\right]\]

Vsota verjetnosti v vsaki vrstici marike P je

    \[p_{i1}+p_{i2}+\dots+p_{in}=1,\]

saj se eden od dogodkov A_i gotovo  zgodi.

Vrnimo se k reševanju naše naloge:

z A_1 označimo “straši”, z A_2 pa “ne straši”.  Potem elementi naše prehodne matrike pomenijo naslednje:

  • p_{11} – verjetnost, da naslednjo noč straši, če je prejšnjo strašilo,
  • p_{12} – verjetnost, da naslednjo noč ne straši, če je prejšnjo strašilo,
  • p_{21} – verjetnost, da naslednjo noč straši, prejšnjo ni strašilo,
  • p_{22} – verjetnost, da naslednjo noč ne straši, če prejšnjo ni strašilo.

Iz teksta naloge preberemo naslednjo prehodno matriko

    \[P=\left[\begin{matrix} \frac{1}{2},&\frac{1}{2}\\ 1,&0\\ \end{matrix}\right]\]

Kaj pa po dveh nočeh? Označimo z

  • p_{11}(2) – verjetnost, da naslednjo noč straši, če je pred dvema strašilo,
  • p_{12}(2) – verjetnost, da naslednjo noč ne straši, če je pred dvema strašilo,
  • p_{21}(2) – verjetnost, da naslednjo noč straši, pred dvema ni strašilo,
  • p_{22}(2) – verjetnost, da naslednjo noč ne straši, če pred dvema ni strašilo.

Dogodek, da to noč straši, če je pred dvema strašilo, se lahko zgodi takole: straši vse tri noči zapored ali pa straši – ne straši – straši. Dogodki so med seboj neodvisni, produkti pa nezdružljivi. Zato lahko zapišemo:

    \[p_{11}(2) =p_{11}p_{11}+p_{12}p_{21}\]

Po podobnem premisleku dobimo še tri enačbe:

    \[p_{12}(2) =p_{11}p_{12}+p_{12}p_{22}\]

    \[p_{21}(2) =p_{21}p_{11}+p_{22}p_{21}\]

    \[p_{22}(2) =p_{21}p_{12}+p_{22}p_{22}\]

V zadnjih enačbah prepoznamo elemente kvadrata prehodne matrike P. Če torej označimo s P(2) prehodno matriko po dveh korakih  (nočeh), je

    \[P(2)=\left[\begin{matrix}p_{12}(2),&p_{12}(2)\\p_{21}(2),&p_{22}(2)\\\end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}p_{11}p_{11}+p_{12}p_{21}&p_{11}p_{12}+p_{12}p_{22}\\ p_{21}p_{11}+p_{22}p_{21}&p_{21}p_{12}+p_{22}p_{22}\\\end{matrix}\right]=P^2.\]

Brez težav posplošimo na prehodno matriko za n korakov. Uganili ste

    \[P(n)=P^n.\]

Preostane še, da preštejete , koliko je noči, izračunate ustrezno prehodno matriko, v njej pogledate pravi element in mi sporočite rezultat.

Ta vnos je objavil Vinc v Matematika. Dodaj zaznamek do trajne povezave .

O Vinc

Končal gimnazijo v Črnomlju 1971, pričel honorarno poučevati na tej gimnaziji v šol.letu 1973/74, se v šol. letu 1976/77 zaposlil kot učitelj matematike, leta 1978 diplomiral iz pedagoške matematike pri dr. Niku Prijatelju s temo Galoisova teorija. Na gimnaziji in poklicni kovinarski šoli učil matematiko, fiziko, fizikalna merjenja, računalništvo ter informatiko, dokumentaristiko in arhivistiko. Dolgoletni mentor šahovskega, fotografskega, fizikalnega, računalniškega in astronomskega krožka. Absolvent 3. stopnje pedagoške fizike, v 90. letih član skupine za prenovo gimnazijske fizike, avtor programske opreme za merilno krmilni vmesnik pri pouku fizike, soavtor učbenikov za gimnazijo Fizika-Mehanika in Fizika-Elektrika. Mentor trinajstim raziskovalnim nalogam v okviru Gibanja Znanost mladini ter trem raziskovalnim nalogam v okviru Krkinih nagrad in številnim tekmovalcem iz logike, lingvistike, matematike, fizike, astronomije in računalništva. Mentor 2. spletne strani šole in prve strani o Beli krajini leta 1997, pobudnik in od 2007 do 2010 urednik spletnih učilnic Srednje šole Črnomelj. Pobudnik šolske Facebook strani. Vinogradnik, sadjar, čebelar, bloger. Več najdete na njegovi spletni strani.

2 thoughts on “Najljubša naloga

  1. Po štirih dneh imamo

        \[P(4)=\left[\begin{matrix} \frac{11}{16},&\frac{5}{16}\\  \frac{5}{8},&\frac{3}{8}\\  \end{matrix}\right]\]

    Torej

        \[p=p_{11}=\frac{11}{16} =0.6875  !\]

    Po par tednih pa verjetnost strašenja krene proti
    0,66666666666666666666666666666666666 …

Komentiranje zaprto.