Najljubša naloga - Vincenc Petruna Blog

Izmed vseh matematičnih nalog iz svojih gimnazijskih časov mi je v spominu najdlje ostala naslednja:

V gradu straši, a ne vsako noč. Zagotovo straši, če prejšnjo noč ni strašilo. Če pa je prejšnjo noč strašilo, je enako verjetno, da to noč straši, kot da ne straši. V noči od srede na četrtek je strašilo. Kolika je verjetnost, da bo strašilo v noči od nedelje na ponedeljek?

Nalogo je v šestdesetih letih objavil France Križanič v tretjem od svojih slavnih učbenikov za matematiko v gimnaziji Aritmetika, algebra in analiza, nekoliko spremenjeno pa jo najdemo tudi v njegovih kasnejših učbenikih. Naloga sodi med markovske verige, poglavju iz verjetnostnega računa, ki se imenuje po ruskem matematiku Andreju Andrejeviču Markovu. Poglavje ni našlo svojega prostora v gimnazijskih učbenikih ne prej ne kasneje. Zakaj ne prej, je še razumljivo, saj si je Križanič prizadeval posodobiti gimnazijsko matematiko in mu je to tudi uspelo. Kasneje pa je v gimnazijsko ladjo vkrcalo preveč potnikov in v skrbi, da jim ne bi bilo kaj pretežko, so vrgli proč večino njegovih posodobitev.

Zaporedju poskusov, ko se vsakič zgodi natanko eden od nezružljivih dogodkov

$A_1,A_2,\dots ,A_n$

in je verjetnost $p_{ij}$ , da se bo v naslednjem poskusu zgodil $A_j$ , odvisna samo od dogodka $A_i$ iz tekočega poskusa in od $A_j$ , pravimo veriga Markova ali markovska veriga. Posamezne verjetnosti $p_{ij}$ zapišemo v kvadratni prehodni matriki

$P=\left[\begin{matrix} p_{11},&p_{12},&\dots&p_{1n}\\ p_{21},&p_{22},&\dots&p_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ p_{n1},&p_{n2},&\dots&p_{nn}\\ \end{matrix}\right]$

Vsota verjetnosti v vsaki vrstici marike $P$ je

$p_{i1}+p_{i2}+\dots+p_{in}=1,$

saj se eden od dogodkov $A_i$ gotovo zgodi.

Vrnimo se k reševanju naše naloge:

z $A_1$ označimo “straši”, z $A_2$ pa “ne straši”. Potem elementi naše prehodne matrike pomenijo naslednje:

$p_{11}$ – verjetnost, da naslednjo noč straši, če je prejšnjo strašilo,
$p_{12}$ – verjetnost, da naslednjo noč ne straši, če je prejšnjo strašilo,
$p_{21}$ – verjetnost, da naslednjo noč straši, prejšnjo ni strašilo,
$p_{22}$ – verjetnost, da naslednjo noč ne straši, če prejšnjo ni strašilo.

Iz teksta naloge preberemo naslednjo prehodno matriko

$P=\left[\begin{matrix} \frac{1}{2},&\frac{1}{2}\\ 1,&0\\ \end{matrix}\right]$

Kaj pa po dveh nočeh? Označimo z

$p_{11}(2)$ – verjetnost, da naslednjo noč straši, če je pred dvema strašilo,
$p_{12}(2)$ – verjetnost, da naslednjo noč ne straši, če je pred dvema strašilo,
$p_{21}(2)$ – verjetnost, da naslednjo noč straši, pred dvema ni strašilo,
$p_{22}(2)$ – verjetnost, da naslednjo noč ne straši, če pred dvema ni strašilo.

Dogodek, da to noč straši, če je pred dvema strašilo, se lahko zgodi takole: straši vse tri noči zapored ali pa straši – ne straši – straši. Dogodki so med seboj neodvisni, produkti pa nezdružljivi. Zato lahko zapišemo:

$p_{11}(2) =p_{11}p_{11}+p_{12}p_{21}$

Po podobnem premisleku dobimo še tri enačbe:

$p_{12}(2) =p_{11}p_{12}+p_{12}p_{22}$

$p_{21}(2) =p_{21}p_{11}+p_{22}p_{21}$

$p_{22}(2) =p_{21}p_{12}+p_{22}p_{22}$

V zadnjih enačbah prepoznamo elemente kvadrata prehodne matrike $P$ . Če torej označimo s $P(2)$ prehodno matriko po dveh korakih (nočeh), je

$P(2)=\left[\begin{matrix}p_{12}(2),&p_{12}(2)\\p_{21}(2),&p_{22}(2)\\\end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}p_{11}p_{11}+p_{12}p_{21}&p_{11}p_{12}+p_{12}p_{22}\\ p_{21}p_{11}+p_{22}p_{21}&p_{21}p_{12}+p_{22}p_{22}\\\end{matrix}\right]=P^2.$