Razdalja točke od premice(2) - Vincenc Petruna Blog

Poglejmo še v prostor. Naj bo premica $p$ podana v kanonični obliki

$\frac{x-a_1}{b_1-a_1}=\frac{y-a_2}{b_2-a_2}=\frac{z-a_3}{b_3-a_3}.$

Pri tem sta $A(a_1,a_2,a_3$ in $B(b_1,b_2,b_3)$ fiksni točki na premici $p$ , $X((x,y,z$ pa poljubna točka na njej. Naj bo v prostoru še točka $T_o(x_o,y_o,z_o),$ katere razdalja od premice $p$ nas zanima.

Iz skice vidimo, da je iskana razdalja $d$ višina paralelograma, ki ga oklepata vektor $\vec{p}$ na premici $\vec{p}=\vec{r_B}-\vec{r_A}$ in vektor $\overrightarrow{AT_o}=\vec{r_{T_o}}-\vec{r_A}.$ Upoštevamo, da je ploščina paralelograma enaka absolutni vrednosti vektorskega produkta ustreznih vektorjev, pa dobimo

$d(T_o,p)=\frac{|\vec{p}\times\overrightarrow{AT_o}|}{|\vec{p}|}.$

Primer: Kolikšna je razdalja med točko $T_o(1,1,-1)$ od premice $x=y=z?$

Rešitev: Iz enačbe premice preberemo $A(0,0,0)$ , $\vec{p}=(1,1,1)$ in $|\vec{p}|=\sqrt{3}.$ Potem je $\overrightarrow{AT_o}=(1,1,-1), \vec{p}\times\overrightarrow{AT_o}=(-2,2,0)$ in $|\vec{p}\times\overrightarrow{AT_o}|=\sqrt{8}.$ Iskana razdalja je torej

$d=\sqrt{\frac{8}{3}}.$