Razdalja točke od premice(1)

By /

Razdalja točke od premice v ravnini je poglavje, ki je iz slovenskih učbenikov izginilo pred nekako tridesetimi leti. Pred tem ga najdemo v Križaničevih učbenikih z izpeljavo, ki se mi ne zdi najbolj posrečena. Morda bi bilo bolje ravnati takole:

Primerjajmo najprej obliko enačbe premice skozi  točki T_1(x_1,y_1) in T_2(x_2,y_2) ter njeno implicitno obliko

    \[ax+by+c=0.\]

.  Spremenimo prvo obliko

    \[y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}{(x-x_1)}\]

v drugo, pa po ureditvi  dobimo

    \[(y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+x_1y_2-x_2y_1=0.\]

Opazimo, da je

    \[y_1-y_2=a,\quad x_2-x_1=b\]

in

    \[x_1y_2-x_2y_1=c.\]

  Te zveze bomo uporabili pri izpeljavi razdalje točke od premice.

Sedaj pa k nalogi: Imejmo  v ravnini premico p, ki je podana v implicitni obliki ax+by+c=0. Poleg tega imejmo še točko T_o(x_o,y_o) in radi bi določili razdaljo d(T_o,p) te točke od premice, kot je razvidno na skici:



Izberimo na tej premici poljubni točki T_1(x_1,y_1) in T_2(x_2,y_2). Opazimo, da točke T_o, T_1 in T_2 tvorijo oglišča trikotnika in iskana razdalja d je ravno višina trikotnika. Višino pa lahko  dobimo iz ploščine trikotnika, to pa znamo izračunati. Torej lahko zapišemo

    \[d(T_o,p)=\frac{2S}{d(T_1,T_2)},\]

pri čemer je

    \[S=\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}x_1-x_o&y_1-y_o\\x_2-x_o&y_2-y_o\end{Vmatrix}\]

ploščina trikotnika,

    \[d(T_1,T_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{a^2+b^2}\]

pa dolžina osnovnice trikotnika, torej razdalja med točkama  T_1(x_1,y_1) in T_2(x_2,y_2).  Torej je

    \[d(To,p)=\frac{|x_1y_2+x_oy_o-x_1y_o-x_oy_2-x_2y_1-x_oy_o+x_2y_o+x_oy_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]

Ko uredimo še števec, dobimo ravno

    \[d(T_o,p)=\frac{|ax_o+by_o+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]

kar je iskani obrazec.  Opazimo lahko, da je premica z enačbo ax+by+c=0 od izhodišča koordinatnega sistema oddaljena za

    \[\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]

2 thoughts on “Razdalja točke od premice(1)”

Comments are closed.

Scroll to Top