Arhiv Značk: prostor-čas

PTR v srednji šoli(9)

Objavljeno ,

Lorenzove transformacije lahko zapišemo v kompaktnejši matrični obliki:

    \[ \begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\end{bmatrix} \]

V njej nastopa Lorenzova matrika

    \[ \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}&\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}\\\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}&\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \end{bmatrix}\quad\quad\quad(1) \]

Prvo koordinato v levem vektorju enačbe (1) dobimo tako, da skalarno pomnožimo 1. vrstico matrike z desnim vektorjem in podobno tudi 2. koordinato. Pred matriko je relativistični faktor.

Opazimo, da se s svetlobno hitrostjo c pomnoženi čas v zapisu obnaša tako kot koordinata x. Če pišemo še koordinati y in z, ki sta prečni na smer gibanja, dobimo

    \[ \begin{bmatrix} ct\\x\\y\\z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \gamma& \gamma\beta&0&0\\\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} ct^\prime\\x^\prime\\y^\prime\\z^\prime\end{bmatrix} \]

Seveda tudi tu velja, da dobimo i-to komponento levega vektorja tako, da skalarno pomnožimo i-to vrstico matrike z desnim vektorjem. Še obratna Lorenzova transformacija:

    \[ \begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\\y^\prime\\z^\prime \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \gamma& -\gamma\beta&0&0\\-\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z \end{bmatrix} \]

Relacije nam ponujajo odgovor na vprašanje, kaj je čas. Čas je pač ena od koordinat štirirazsežnega prostora-časa. Vektorju

    \[ \begin{bmatrix} ct\\x\\y\\z \end{bmatrix}\]

pravimo dogodek  v prostoru- času. Lorentzove transformacije nam pomagajo preračunavati dogodke iz enega v drug inercialni sistem v prostoru-času.

NAZAJ NAPREJ

PTR v srednji šoli(3)

Objavljeno ,

Oba inercialna sistema so povezovale Galilejeve transformacije, a te smo v zadnjem poglavju razglasi za neveljavne. Potrebujemo torej nove transformacije.

Vprašamo se, ali je kaj, kar opišeta enako oba,  sprevodnik in postajenačelnik.  Odgovor nam spet prinese naslednji miselni poskus:

Mislimo si, da se vlak s sprevodnikom približuje postajenačelniku. Koordinatna sistema obeh imata vzporedne osi, vlak in z njim gibajoći se koordinatni sistem pa se giblje  v smeri  postajenačelnikove x-osi.  V trenutku, so oba koordinatna sistema pokrijeta, na vlaku zasveti okrogla luč..  Sprevodnik  opiše svetlobo kot krogelni val, ki se širi s hitrostjo svetlobe c na vse strani, torej

    \[x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=c^2t^{\prime 2}.\]

.

Postajenačelnik pa val opiše podobno, a v svojih koordinatah

    \[x^{2}+y^{2}+z^{ 2}=c^2t^{2}.\]

Vidimo torej, da sta opisa enaka. Velja torej

    \[x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}=x^{2}+y^{2}+z^{ 2}-c^2t^{2}.\]

.

Ker se vlak giblje prečno na koordinate

    \[y,y^\prime, z, z^\prime,\]

je

    \[y=y^\prime,\quad z=z^\prime,\]

pa se zgornja zveza še poenostavi v

    \[x^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}=x^{2}-c^2t^{2}.\]

.

Iščemo torej linearno transformacijo, ki bo zadostila zgornji enačbi.

NAZAJ NAPREJ