Arhiv Značk: iracionalni izrazi

O nekem neskončnem iracionalnem izrazu

Objavljeno ,

kvadratni koreni

Zanimamo se za neskončne izraze oblike

    \[x=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\dots}}}},\quad\quad\quad(1)\]

pri čemer je a>0.

Vrednost takega izraza določimo tako, da najprej opazimo identičen izraz pod korenom, torej

    \[x=\sqrt{a+x},\]

rešimo ustrezno kvadratno enačbo

    \[x^2-x-a=0\]

in dobimo (zanima nas samo pozitivna rešitev)

    \[x=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}\quad\quad\quad(2)\]

Torej, če je a=1, dobimo zlato število

    \[\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\dots}}}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi,\]

če je a=2, pa

    \[\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}}=\frac{1+\sqrt{1+8}}{2}=2.\]

Vprašajmo se, za katera števila a je vrednost izraza x naravno število.

V (2) opazimo, da mora biti izraz pod korenom lihi kvadrat, torej kvadrat lihega števila. Torej

    \[1+4a=m^2,\]

od koder dobimo

    \[a=\frac{(m+1)(m-1)}{4}.\quad\quad\quad (3)\]

Upoštevajmo še, da je m=2n-1, vstavimo v (3), pa dobimo

    \[a=n(n+1).\]

Vrednost izraza (1) je torej naravno število, če je a produkt zaporednih naravnih števil.

Andrej Jakobčič je predlagal še hitrejši dokaz:

Enaćbo

    \[x^2-x-a=0\]

je predelal takole

    \[x(x-1)=a,\]

pa se zahteva za a takoj vidi.

Število a mora torej biti dvakratnik trikotniškega ali podolžno število.

tretji koreni

Ponovimo zgodbo s tretjimi koreni. Zanima nas torej, ali je kdaj izraz oblike

    \[x=\sqrt[3]{a+\sqrt[3]{a+\sqrt[3]{a+\sqrt[3]{a+\dots}}}},\quad\quad\quad(4)\]

pri čemer je a poljubno celo število, tudi celo število.

Izraz kubiramo, pa dobimo enačbo

    \[x^3-x-a=0.\quad\quad\quad 5\]

Polinom tretje stopnje z realnimi koeficienti ima vsaj eno realno ničlo, recimo ji b. Delimo  (5) z x-b, pa dobimo

    \[x^3-x-a=(x-b)(x^2+bx+b^2-1)+b(b^2-1)-a.\]

Če naj bo b ničla, mora biti ostanek b(b^2-1)-a=0, od koder sledi

    \[a=(b-1)b(b+1).\]

Če torej hočemo, da bo rezultat celo število b, mora biti a=(b-1)b(b+1).

Pridelamo lahko torej poljubno naravno število b>1, če za a izberemo a=6,24,60, 96,...

Veljajo torej naslenje neenakosti:

    \[\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\dots}}}}=2,\]

    \[\sqrt[3]{24+\sqrt[3]{24+\sqrt[3]{24+\sqrt[3]{24+\dots}}}}=3,\]

    \[\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+\dots}}}}=4,\]

itd..

Mimogrede

    \[\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\dots}}}}=P,\]

je plastična konstanta…

Posplošitev

Oglejmo si torej vgnezden radikal

    \[x=\sqrt[n]{a+\sqrt[n]{a+\sqrt[n]{a+\sqrt[n]{a+\dots}}}}.\quad\quad\quad (6)\]

Po potenciranju dobimo polinom

    \[x^n-x-a=0,\]

ok koder dobimo

    \[a=x^n-x.\quad\quad\quad (7)\]

Obrnimo nalogo, pa vidimo: Če izberemo a tako, da bo veljalo (7) za poljuben x \in \cal{N}, bo imel izraz (6) vrednost x.

Primeri:

Ugotovi vrednost naslednjih vgnezdenih radikalov:

    \[x=\sqrt[3]{120+\sqrt[3]{120+\sqrt[3]{120+\sqrt[3]{120+\dots}}}},\]

    \[x=\sqrt[4]{78+\sqrt[4]{78+\sqrt[4]{78+\sqrt[4]{78+\dots}}}},\]

    \[x=\sqrt[5]{30+\sqrt[6]{30+\sqrt[5]{30+\sqrt[5]{30+\dots}}}},\]

    \[x=\sqrt[6]{62+\sqrt[6]{62+\sqrt[6]{62+\sqrt[6]{62+\dots}}}}.\]