Najkrajša dokazna partija (1)

Objavljeno ,
Odgovori

SPG 5.5

Na sliki imamo zanimivo matno pozicijo, črnega kralja je precej hitro matiral beli kralj, z odkritim šahom. Kako priti do te pozicije?

Nalogo je sestavil Christoph Fieberg leta 2002.

Do te pozicije seveda lahko pridemo na mnogo načinov, toda naloga predpisuje SPG v 5.5 oz. najkrajša dokazna partija v (natančno) 5,5 potezah. Od kod polovičke poteze? Poteza je pravzaprav sestavljena iz dveh polpotez, belega in črnega. 5,5 potez torej pomeni, da je zadnjo polpotezo odigral beli. Če je zadnji odigral črni, to poudarimo in rečemo, da je pozicija nastala (recimo) v 4,0 poteze.

Kako je šla zgoraj omenjena partija?

Potek

Bistvo dokazne partije je, da se izteče v predpisanem številu potez, da je partija unikatna in s tem, da vrstnega reda potez ni mogoče zamenjati.

Naloga

Poskusite sami razrešiti naslednjo nalogo: SPG 4.0, torej, pozicija je nastala po četrti potezi črnega, kako je šla partija?

Obrazci v sfernem trikotniku

Objavljeno ,
Odgovori

Za poljuben sferni trikotnik

(z velikimi črkami so označeni koti, z malimi stranice, vse merimo v kotnih enotah) veljajo naslednje zveze:

  1. Razmerje med sinusom stranice in sinusom nasprotnega kota je stalno

        \[\frac{\sin{a}}{\sin{A}}=\frac{\sin{b}}{\sin{B}}=\frac{\sin{c}}{\sin{C}}\]

    – sinusni obrazec, zelo spominja na tistega iz ravninske trigonometrije,

  2. Cosinus stranice je enak vsoti produktov cosinusov ostalih dveh stranic ter sinusov produktov teh stranic in cosinusa vmesnega kota

        \[\cos{a}=\cos{b}\cos{c}+\sin{b}\sin{c}\cos{A},\]

        \[\cos{b}=\cos{a}\cos{c}+\sin{a}\sin{c}\cos{B},\]

        \[\cos{c}=\cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b}\cos{C}.\]

      – cosinusov obrazec, tudi spominja na cosinusov izrek iz ravninske geometrije.

  3. Produkt sinusa stranice in cosinusa priležnega kota  je enak produktu sinusa druge priležne stranice in cosinusa kotu nasprotne stranice minus produkt cosinusa druge priležne stranice, cosinusa nasprotne stranice in cosinusa vmesnega kota zadnjih dveh stranic.

        \[\sin{a}\cos{B}=\sin{c}\cos{b}-\cos{c}\sin{b}\cos{A}\]

     Sinusno-cosinusni izrek, še 5 takih enačb.

  4. Iz sinusnega in sinusno kosinusnega obrazca lahko izpeljemo še tangensni obrazec

        \[\tan{B}=\frac{\sin{b}\sin{a}}{\sin{c}\cos{b}-\cos{c}\sin{b}\cos{A}}\]

pravokotni sferni trikotnik

Je sferni trikotnik, v katerem je eden od kotov pravi, pri nas C=90^o.

Iz zgornjih dobimo v tem primeru deset obrazcev, ki si jih zapomnimo s pomočjo Napierjevega pravila. Elemente trikotnika zložimo v krog takole:

Pri zlaganju elementov pravokotnega sfernega trikotnika v Napierjev krog pazimo na naslednje:

  • Najprej vstavimo v zgornje polje “hipotenuzo”.
  • V polji poleg vstavimo hipotenuzi priležna kota.
  • V preostali polji vpišemo komplemetarne kote “katet” tako, da so nasprotni nasprotnim kotom.

Pravilo pravi naslednje:

Cosinus vsakega elementa je enak produktu sinusov nasprotnih elementov ali pa produktu kotangensov sosednjih elementov.

Zapiši vseh 10 enačb, pri tem upoštevaj obrazce za komplementarne kote. Rezultate preveri v literaturi.