O eksponentni rasti(2) -

V srednji šoli obrazca za eksponentno rast ne izpeljemo iz diferencialne enačbe $dy=kydt$ pri začetnem pogoju $y(0)=y_o$ , saj diferencialnih enačb še ne poznamo. Pomagamo si z obrazcem za obrestno obrestovanje kapitala $y_o$ s p procentno letno obrestno mero v n letih in k kapitalizacijah letno. Kapital po n letih oziroma nk obrestovalnih obdobjih je torej

$y_n=y_0\left(1+\frac{p}{100k}\right)^{nk}$

Pri neprestani kapitalizaciji ( $k\to\infty$ ) je

$y=\lim_{k\to\infty}y_0\left(1+\frac{p}{100k}\right)^{nk}=$

$=\lim_{k\to\infty}y_0\left(1+\frac{1}{\frac{100k}{p}}\right)^{\frac{100k\cdot pn}{p\cdot100}}$

Upoštevamo zgoraj znano definicijo Eulerjevega števila

$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} ,$

pa dobimo iskani izraz

$y=y_oe^{\frac{pn}{100}}.$

Sedaj lahko pridemo do prvega Bartlettovega obrazca. Upoštevajmo $y=2y_o,$ pa dobimo iz zgornjega obrazca

$2=e^{\frac{pn}{100}}.$

Še logaritmirajmo zvezo in izrazimo n, pa dobimo

$n=\frac{100\ln{2}}{p}.$

Ker je $\ln2=0,6931,$ je $100\ln2=69,31$ , kar se od 70 v Bartlettovem obrazcu razlikuje za manj kot procent. Torej je1.Bartlettov obrazec

$t_2\doteq \frac{70}{p}$

zelo dober približek za podvojitveni čas pri eksponentni rasti.

Do 2. Bartlettovega obrazca (povečanju količine v 70 letih) pa pridemo takole:

Velikost spremenljivke y po 70 letih je

$y(70)=y_oe^{\frac{p\cdot 70}{100}}=y_oe^{\frac{p\cdot 7}{10}}$

Zapišimo to z eksponentno funkcijo z osnovo 2

$y(70)=y_oe^{\frac{p\cdot 7}{10}}=y_o2^u.$

in določimo u. Krajšajmo in logaritmirajmo to zvezo, pa dobimo

$\frac{7p}{10}=u\ln2.$

Izrazimo od tod u, pa dobimo

$u=\frac{7p}{10\ln2}$

kar se samo za 1% razlikuje od p. Tako smo torej pridelali uporaben in kar natančen obrazec

$y(70)\doteq y_o2^p.$

Na prvi dokument:

2 thoughts on “O eksponentni rasti(2)”

poguglaj pravilo 72 ….

Vinc je dne 23. decembra, 2011 ob 17:47 rekel:

Hvala, Andrej, nisem poznal, čeprav poznam spletne Preseke. Andrej me je opozoril na članek dr.Petra Legiše v Preseku letnika 20, ki obravnava pravilo, zelo podobno 1. Bartlettovemu pravilu, a vendar različno od njega. Pravilo za podvojitveni čas se v tem članku glasi takole

$t_2=\frac{72}{p}$

Vprašanje, ki se postavlja: 70 ali 72. Del odgovora ponuja že avtor članka.

Če bi bili natančnejši, bi ugotovili, da je $e^{0.693} = 2.000.$ Torej bi za zelo majhne obrestne mere namesto PRAVILA 72 morali vzeti “pravilo 70” , (Za tiste, ki poznate logaritme, je 0’693 .., prav naravni logaritem števila 2.) Ker pa se obrestne mere navadno sučejo okrog 8 %, je bilo
izbrano PRAVILO 72, ki daje na tem območju natančnejše rezultate. Poleg tega je 72 “lepo” število, deljivo z mnogimi števili, kar smo tudi izkoristili v naših primerih.

Vsaj na prvi pogled se mi zdi, da je razlika med izpeljavama v tem, da Bartlettova obrazca upoštevata neprestano – zvezno – kapitalizacijo, ki jo opiše eksponentna funkcija in je uporabna za zvezne pojave, kot je npr. naravna rast, dr. Legiša pa piše o diskretni kapitalizaciji – njegove spremenljivke se znotraj obrestovalnega obdobja ne obrestujejo. Prvo pravilo je enako natančno ne glede na p, medtem ko drugo daje najbolj natančne napovedi pri p=8%. Obrazca sta podobna, nista pa enaka.
Obe formuli pa nedvomno pričata o praktičnosti tistih čez lužo….

Komentiranje zaprto.