Dve nalogi iz Azimutha - Vincenc Petruna BlogVincenc Petruna Blog

Na strani Azimuth je ameriški matematični fizik John Baez povzel nekaj tudi za srednješolce zanimivih geometrijskih nalog. Med drugim sta Hipokratovi luni, o čemer sem v blogu že pisal, nekaj nalog pa je svežih in nenavadnih.

Prva naloga govori o enakostraničnem trikotniku in pravi:

Rendered by QuickLaTeX.com

Pokaži, da so obarvane ploščine na skici med seboj v preprosti zvezi.

Tale dokaz je izvedel Stane Š. Uvedel je oznake $P_1,$ $P_2$ in $P_3$ za ustrezne ploščine, stranico trikotnika pa označimo z a.

Potem pa je “pridno” računal:

$\displaystyle P_1=\frac{1}{3} \left( \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}-\frac{a^2\pi}{12}\right) = \underline{\underline{\frac{a^2 \sqrt{3}}{12}-\frac{\pi a^2}{36}}}$

$\displaystyle P_2= \frac{\pi a^2}{12}=\underline{\underline{\frac{1}{3} \frac{\pi a^2}{4}}}$

$\displaystyle P_3=\frac{1}{3} \left( \pi \left( \frac{2}{3} \frac{a^2 \sqrt{3}}{2}\right)^2 -\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right)=$

$\displaystyle = \frac{1}{3} \left( \pi \frac{4 a^2 3}{9\cdot 4} -\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right)=$

$\displaystyle = \underline{\underline{\frac{1}{3} \left( \frac{\pi a^2}{3} -\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right)}}$

In če zdaj te izraze dobro pogledamo, hitro (u)vidimo:\\

$\displaystyle P_1+P_3= \frac{\pi a^2}{9}-\frac{\pi a^2}{36} = \frac{ \pi a^2}{3} \left( \frac{12}{9} - \frac{1}{3}\right) = \frac{ \pi a^2}{3}= P_2$

Druga naloga pa govori o polkrogih, ki sta v krog vrisana takole:

Rendered by QuickLaTeX.com

Naloga pravi: Pokaži, da se vsota ploščin obeh pokrogov preprosto izraža.

Označimo z $S$ središče kroga, z $R$ polmer velikega kroga, z $d$ razdaljo med $S$ in dotikališčem polkrogov, polmer malega polkroga z $r_1$ in polmer večjega polkroga z $r_2.$ Črtkana trikotnika sta skladna, saj se ujemata v stranici in priležnih kotih. Zato lahko preberemo iz skice zvezo med polmeroma

$r_2=r_1+d.$

Ko v obeh trikotnikih uporabimo Pitagorov izrek, dobimo tudi enačbi

$(r_1+d)^2+r_1^2=R^2,$

$r_1^2+r_2^2=R^2.$

Potrebujemo samo drugo zvezo. Vsota ploščin obeh polkrogov torej znaša

$S_1+S_2=\frac{\pi}{2}\left(r_1^2+r_2^2\right)=\frac{\pi}{2}R^2.$

Nazadnje smo uporabili zvezo v desnem trikotniku. Vsota ploščin polkrogov je torej enaka polovici ploščine velikega kroga. S tem je izrek dokazan.

Zadnji izrek je znan šele od leta 2011:Glej Andrew K. Jobbings, Two semicircles fill half a circle, The Mathematical Gazette 95 (Nov. 2011), 538–540.

Glej tudi geometrijski dokaz Grega Egana.