Neskončni vgnezdeni radikali in podobne pošasti

Objavljeno ,

Poglejmo, kaj imajo skupnega  naslednje naloge:

    1. Določi vrednost izraza

          \[ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}},\]

    2. Določi vrednost izraza

          \[ \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\dots}}}},\]

    3. Določi vrednost verižnega ulomka

          \[1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}}\]

    4. Določi vrednost nadomestnega upora v neskončni verigi uporov na skici, če je R_1=10\Omega  in R_1=15\Omega. .

neskoncno vezje

Rešitev: Vse naloge so take, da lahko nadomestimo del izraza s celotnim

  1. Označimo

        \[x=\sqrt{2+\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}}_{x}},\]

    Če celoten izraz izrazimo z x, dobimo enačbo

        \[x=\sqrt{2+x}\]

    . Rešitev te enačbe, ki ustreza, je x=2.

  2. Ravno tako označimo

        \[x= \sqrt{2\underbrace{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\dots}}}}_{x}},\]

    dobimo enačbo

        \[x^2=2x\]

    , kateri ustreza rešitev x=2.

  3. Podobno označimo

        \[x=1+\frac{1}{\underbrace{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}}_{x}}\]

    . Tokrat dobimo enačbo

        \[x=1+\frac{1}{x}\]

      oziroma kvadratno enačbo

        \[x^2-x-1=0,\]

    ki ima za rešitev zlato število

        \[\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.\]

  4. Opazimo, da to vezje lahko nadomestimo z vezjemki ima nadomestni upor

        \[R=2R_1+\frac{R_2R}{R_2+R}.\]

       Od tod dobimo  kvadratno enačbo 

        \[R^2-2R_1R-2R_1R_2=0,\]

    ki ima  rešitev

        \[R=R_1+\sqrt{R_1^2+2R_1R_2}=30\Omega.\]

Ta vnos je objavil Vinc v Razno. Dodaj zaznamek do trajne povezave .

O Vinc

Končal gimnazijo v Črnomlju 1971, pričel honorarno poučevati na tej gimnaziji v šol.letu 1973/74, se v šol. letu 1976/77 zaposlil kot učitelj matematike, leta 1978 diplomiral iz pedagoške matematike pri dr. Niku Prijatelju s temo Galoisova teorija. Na gimnaziji in poklicni kovinarski šoli učil matematiko, fiziko in računalništvo ter informatiko, dokumentaristiko in arhivistiko. Dolgoletni mentor šahovskega, fotografskega, fizikalnega, računalniškega in<a \href{http://www2.arnes.si/48/sscrnomelj/astro.html}{ astronomskega} krožka. Absolvent 3. stopnje pedagoške fizike, v 90. letih član skupine za prenovo gimnazijske fizike, avtor programske opreme za merilno krmilni vmesnik, soavtor učbenikov za gimnazijo Fizika-Mehanika in Fizika-Elektrika. Mentor trinajstim raziskovalnim nalogam v okviru Gibanja Znanost mladini ter trem raziskovalnim nalogam v okviru Krkinih nagrad in številnim tekmovalcem iz logike, matematike, fizike in računalništva. Mentor \href{http://www2.arnes.si/48/ssnmcrnom5/sola/}{2. spletne strani šole}, pobudnik in od 2007 do 2010 urednik spletnih učilnic Srednje šole Črnomelj. Pobudnik šolske Facebook strani. Več najdete na njegovi \href{http://vincenc.petruna.com/}{spletni strani.}

One thought on “Neskončni vgnezdeni radikali in podobne pošasti”

  1. “Opazimo, da to vezje lahko nadomestimo z vezjem”

    he, he, ‘opazimo’ – zanimiv način reševanja …

Komentiranje zaprto.