Neskončni vgnezdeni radikali in podobne pošasti

Poglejmo, kaj imajo skupnega  naslednje naloge:

    1. Določi vrednost izraza \[ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}},\]
    2. Določi vrednost izraza \[ \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\dots}}}},\]
    3. Določi vrednost verižnega ulomka \[1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}}\]
    4. Določi vrednost nadomestnega upora v neskončni verigi uporov na skici, če je \(R_1=10\Omega\)  in \(R_1=15\Omega.\) .

neskoncno vezje

Rešitev: Vse naloge so take, da lahko nadomestimo del izraza s celotnim

  1. Označimo \[x=\sqrt{2+\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}}_{x}},\]Če celoten izraz izrazimo z x, dobimo enačbo \[x=\sqrt{2+x}\]. Rešitev te enačbe, ki ustreza, je \(x=2.\)
  2. Ravno tako označimo \[x= \sqrt{2\underbrace{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\dots}}}}_{x}},\] dobimo enačbo \[x^2=2x\], kateri ustreza rešitev \(x=2.\)
  3. Podobno označimo \[x=1+\frac{1}{\underbrace{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}}_{x}}\]. Tokrat dobimo enačbo \[x=1+\frac{1}{x}\]  oziroma kvadratno enačbo \[x^2-x-1=0,\]ki ima za rešitev zlato število \[\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.\]
  4. Opazimo, da to vezje lahko nadomestimo z vezjemki ima nadomestni upor \[R=2R_1+\frac{R_2R}{R_2+R}.\]   Od tod dobimo  kvadratno enačbo  \[R^2-2R_1R-2R_1R_2=0,\] ki ima  rešitev\[R=R_1+\sqrt{R_1^2+2R_1R_2}=30\Omega.\]
Ta vnos je objavil Vinc v Razno. Dodaj zaznamek do trajne povezave .

O Vinc

Končal gimnazijo v Črnomlju 1971, pričel honorarno poučevati na tej gimnaziji v šol.letu 1973/74, se v šol. letu 1976/77 zaposlil kot učitelj matematike, leta 1978 diplomiral iz pedagoške matematike pri dr. Niku Prijatelju s temo Galoisova teorija. Na gimnaziji in poklicni kovinarski šoli učil matematiko, fiziko in računalništvo ter informatiko, dokumentaristiko in arhivistiko. Dolgoletni mentor šahovskega, fotografskega, fizikalnega, računalniškega in<a \href{http://www2.arnes.si/48/sscrnomelj/astro.html}{ astronomskega} krožka. Absolvent 3. stopnje pedagoške fizike, v 90. letih član skupine za prenovo gimnazijske fizike, avtor programske opreme za merilno krmilni vmesnik, soavtor učbenikov za gimnazijo Fizika-Mehanika in Fizika-Elektrika. Mentor trinajstim raziskovalnim nalogam v okviru Gibanja Znanost mladini ter trem raziskovalnim nalogam v okviru Krkinih nagrad in številnim tekmovalcem iz logike, matematike, fizike in računalništva. Mentor \href{http://www2.arnes.si/48/ssnmcrnom5/sola/}{2. spletne strani šole}, pobudnik in od 2007 do 2010 urednik spletnih učilnic Srednje šole Črnomelj. Pobudnik šolske Facebook strani. Več najdete na njegovi \href{http://vincenc.petruna.com/}{spletni strani.}

1 thought on “Neskončni vgnezdeni radikali in podobne pošasti

  1. “Opazimo, da to vezje lahko nadomestimo z vezjem”

    he, he, ‘opazimo’ – zanimiv način reševanja …

Komentiranje zaprto.