Arhiv Značk: potenca točke

Krožnica(2)

Objavljeno ,

Krožnici se dotikata z zunanje strani.

  1. Konstruiraj tretjo krožnico, ki se dotika obeh.
  2. Konstruiraj četrto krožnico, ki se prvi dve dotika od zunaj, tretje pa od znotraj (dve rešitvi).

Namig: Pri prvi nalogi lahko ugotoviš središče in polmer iskane krožnice že s premislekom, pri drugi pa je glavna težava določiti polmer 4. krožnice. Zato poveži središča vseh krogov, poglej, kje so trikotniki pravokotni od tam izrazi neznano. Upam, d ati bo v pomoč tudi spodnja animacija:

 

Potenca točke na krožnico

Objavljeno ,

 

Imejmo  v ravnini krožnico K s središčem S in polmerom r ter poljubno točko O.  Potenca točke je definirana takole:

Def.:Potenca \mathcal{P}(O,\mathcal{K})[ točke O na krožnico \cal{K} je število \overrightarrow{OS}\cdot\overrightarrow{OS}-r^2.   Torej

\mathcal{P}(O,\mathcal{K})=\overrightarrow{OS}\cdot\overrightarrow{OS}-r^2.

Vidimo, da je zaloga vrednosti te preslikave enaka  \left [-r^2,\infty \right ). Točke izven kroga, ki ga omejuje krožnica \mathcal{K}, imajo potenco pozitivno, tiste znotraj pa negativno.

[embedit cf=”“]

Dokaz: Opazimo, da sta trikotnika OAD in OCB podobna, saj imata en kot skupen, drugi par kotov pa ima za zumanja obodna kota nad istim lokom.  Zato velja sorazmerje med enakoležnimi stranicami

\frac{\overline{OA}}{\overline{OC}}=\frac{\overline{OD}}{\overline{OB}},
od tod pa sledi iskana enakost.