Simulacija radioaktivnega razpada v preglednici -

O radioaktivnem razpadu jeder

Atomska jedra v splošnem niso stabilna. Vsa z vrstnim številom $Z>92,$ številna pa že prej, razpadejo na drugo jedro tako, da oddajo delce $\alpha$ , $\beta$ ali sevanje $\gamma .$ Razpad posameznega jedra je čisto slučajen – kvantni proces in nikakor ne moremo napovedati za jedro vnaprej, kdaj bo razpadlo. Pač pa velja za veliko množico jeder (npr. reda velikosti Avogadrovega števila $N_A=6,0\cdot 10^{26}/kmol$ ) statistična zakonitost, da je število razpadov v časovni enoti premo sorazmerno številu nerazpadlih jeder. Če torej označimo z $\frac{dN}{dt}$ število v časovni enoti razpadlih jeder, z $N$ pa število nerazpadlih jeder, velja zveza

$\frac{dN}{dt}=-\lambda N.$

Pri tem je premo sorazmernostni faktor $\lambda$ razpadna konstanta, ki določa hitrost razpada, predznak pa je negativen zato, ker se število nerazpadlih jeder v odvisnosti od časa manjša. Če označimo število jeder na začetku $(t=0)$ z $N_o$ , lahko izpeljemo zvezo

$N(t)=N_oe^{-\lambda t}=N_oe^{-\frac{t}{\tau}}.$ .

V zadnjem zapisu smo uvedli razpadni čas $\tau$ kot čas, v katerem se število nerazpadlih jeder $e$ -krat, to je približno 2,7 -krat, zmanjša. Vidimo torej, da razpad velikega števila jeder v odvisnosti od časa opisuje padajoča eksponentna funkcija. Včasih zapišemo zgornjo zvezo tudi kot eksponentno funkcijo z osnovo 2, torej kot

$N(t)=N_o\cdot 2^{-\frac{t}{t_\frac{1}{2}}}$

Pri tem je je $t_\frac{1}{2}$ razpolovni čas, torej čas, v katerem se število nerazpadlih jeder dvakrat zmanjša. Pokažemo lahko, da med obema značilnima časoma obstaja zveza

$t_{\frac{1}{2}}=\tau \ln{2}.$

Razpadni časi so za posamezne izotope značilni in silno različni – od let (skoraj stabilni izotopi, npr. $^{238}U$ ), do delčkov sekunde za najbolj nestabilne.

Simulacija radioaktivnega razpada s kovanci

V šoli lahko radioaktivni razpad jeder simuliramo z metanjem kovancev – naj npr. kovanec, ki pade z grbom navzgor, predstavlja jedro, ki je razpadlo. Npr. 100 kovancev damo v zaprto škatlo, škatlo dobro potresemo, nato jo izpraznimo na mizo, odstranimo grbe, ostale kovance pa preštejemo in damo ponovno v škatlo. Postopek ponavljamo, dokler je v škatli kaj kovancev. Pri metanju posameznega kovanca je padec grba slučajen dogodek, ki ne moremo vnaprej napovedati. A pri metanju dovolj velike množice kovancev upravičeno pričakujemo, da bo padla približno polovica grbov. Zato pri taki simulaciji pričakujemo razpolovni čas $t_\frac{1}{2}=1$ korak, torej razpadni čas $\tau$ približno 1,44 koraka in razpadno konstanto $\lambda=0,693/korak$ . Poglejmo, kako se bo izid poskusa ujemal z napovedjo. Zapisujemo, koliko “jeder” ostane nerazpadlih po vsakem koraku. Eden od možnih izidov je naslednji:

korak	0	1	2	3	4	5	6	7
N	100	48	22	13	6	3	2	1

Tabela1: Število kovancev v škatli pred tresenjem v odvisnosti od korakov. Izida z N=0 ne upoštevamo več. Vnesemo točke v program za delo s preglednicami (Excel, Calc) ali kar v programGeogebra, da dobimo graf. Ker se nam zdi odvisnost eksponentna, poskusimo modelirati z eksponetno trendno črto¹ (v Geogebri izberemo ukaz EksponetnaTrendnaČrta[(x₁,y₁),(x₂,y₂),…..(x_n,y_n)]) . V algebrskem oknu Geogebre ali v preglednici preberemo funkcijski predpis prilagoditvene funkcije, ki modelira razpad. Dobimo npr.

$N(t)=90,109\cdot e^{-0,65 t}=90,901e^{-\frac{t}{1,44}}.$

Začetno število jeder se po modelu razlikuje za skoraj 10%, razpadna konstanta l pa za skoraj 6%. Opazimo, da se rezultat v modelu le približno ujema z napovedjo. Prva izboljašava, ki nam pride na misel, je, da vzamemo več kovancev, druga pa, da poskus večkat ponovimo in tabeliramo povprečja pri posameznem koraku. Obe izboljšavi prineseta izide, ki se dosti bolj ujemajo z napovedjo, vendar sta obe časovno potratni. Ena od možnih rešitev zadnjega problema je, da uporabimo še več tehnologije. Zato si torej oglejmo, kako lahko simuliramo razpad jeder v preglednici

Simulacija radioaktivnega razpada v preglednici

Razpad posameznega jedra prav lahko simuliramo tudi v programu za delo s preglednicami. Naj npr. celica s vsebino 0 predstavlja razpadlo, celica z vsebino 1 pa nerazpadlo jedro. O tem, ali bo posamezno jedro razpadlo ali ne, naj odloča funkcija RAND(), ki vrne naključno realno število iz intervala [0,1). Pogoj za razpad jedra bomo v preglednici torej oblikovali takole

=IF(RAND()>0,5;vsebina_prejšnje_celice;0)

To pomeni: če je naključna vrednost večja od 0,5, se v to celico vpiše vsebina prejšnje celice, ki je lahko 1 ali 0, odvisno od tega, ali je jedro razpadlo že prej ali ne. Sicer pa jedro razpade in v celico, v kateri je ta formula, se vpiše 0. Začnemo s stolpcem s 100 celicami, katerih vsebina je 1. To pomeni, da imamo na začetku 100 nerazpadlih jeder. ( Število lahko povečamo do več tisoč.) V preglednico torej zapišemo (izraz pred dvopičjem je naslov celice v preglednici, izraz med dvopičjem in vejico vsebina celice, izraz med vejicama pa dodatno navodilo):

B6:1 , kopiraj vsebino B6 od B7do vključno B105,

C6: =IF(RAND()<0,5;0;B6) ,kopiraj formulo od C7do vključno C105,

,Kopiraj formule v stolpcu C6:C105 vsaj 6 stolpcev desno,

A4:korak

B4:0

C4:=B4+1, kopiramo formulo do I4,

A5:N B5: =SUM(B6:B105), kopiramo formulo do vključno I5.

Ko vse vnesemo, je vsebina zgornjih dveh vrstic 102 vrstične tabele v preglednici (približno) taka:

Korak	0	1	2	3	4	5	6	7
N	100	48	30	14	6	3	2	1

Te podatke narišemo in aproksimiramo z eksponentno trendno črto. Dobimo naslednji graf, ki prikazuje število nerazpadlih jeder od korakov: Trendna črta pa ima tokrat enačbo

$N(t)=98,58\cdot e^{0,67t}.$

N_ose tokrat razlikuje od 100 samo za 1,5%, razpadna konstanta pa za 3%. Ta model razpada je torej precej boljši kot prej.

Opombe in namigi za izboljšave modela

Nekateri programi za delo s preglednicami (tudi Excel) imajo nastavljeno avtomatsko izračunavanje tabele po vsakem vnosu. To pomeni, da se tabela po vsakem vnosu ponovno preračuna in kadar so v njenih celicah naključne vrednosti, seveda spremeni. Če nas to moti, lahko v nastavitvah izključimo avtomatsko preračunavanje, lahko pa ga izkoristimo za izbiro tistega modela razpada, ki se bolj ujema z napovedjo. Zavedati se moramo, da je 100 jeder na začetku zelo malo v primerjavi z realističnem vzorcem izotopa, v katerem je število jeder primerljivo z Avogadrovim številom . Zato so odstopanja od eksponentnega upadanja lahko opazna. Odstopanja modela lahko še zmanjšamo, če:

povečamo število jeder v naši preglednici,
povečamo število poskusov (npr. na 11.listu preglednice zberemo povprečja nerazpadlih jeder po istem koraku na listih 1-10. )

Do boljšega ujemanja pride tudi, če je razpadna konstanta $\lambda$ manjša. Če npr. želimo, da v posameznem koraku razpade samo 10% jeder, kopiramo v celice formulo

=IF(RAND()>0,9;0;vsebina_prejšnje_celice)

Račun pokaže, da je v tem primeru

$N(t)=N_o\cdot 0,9^t.$

Torej je razpadna konstanta tokrat $\lambda=0,1.$ Ob upoštevanju teh namigov relativna odstopanja modela zlahka zmanjšamo pod 1 odstotek. Primer: Če delamo v preglednici z 10000 jedri, dobimo npr. naslednjo tabelo:

korak	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
N	10000	8969	8048	7236	6496	5838	5290	4745	4271	3823	3460	3096	2779

Podatki dajo naslednji graf Relativna napaka napovedi števila jeder na začetku je pri tem modelu $\frac{\Delta N_o}{N_o}=0,31\%,$ za razpadno konstanto pa $\frac{\Delta \lambda}{\lambda}=0,6\%.$