Poenostavitev iracionalnega izraza - Vincenc Petruna Blog

A.J. je objavil naslednjo nalogo:

Poenostavi izraz:

$x=\sqrt[3]{50+\sqrt{\frac{67375}{27}}}+\sqrt[3]{50-\sqrt{\frac{67375}{27}}}$

Ena od možnih poti reševanja je, da se opremo na iz osnovne šole znani obrazec za kub dvočlenika:

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$

Označimo torej z

$a=50$

$b=\frac{67375}{27},$

pa začnimo:

$x=\sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{\left( \sqrt[3]{a+\sqrt{b}}+\sqrt[3]{a-\sqrt{b}} \right)^3}=$

$=\sqrt[3]{2a+3\sqrt[3]{a^2-b}\cdot x}$

Enačbo kubiramo, da dobimo kubično enačbo

$x^3-3\sqrt[3]{a^2-b}\cdot x-2a=0$

Vstavimo noter a in b, pa dobimo enačbo

$x^3-5x-100=0,$

ki ima edino realno rešitev

$x=5$

, kar je tudi vrednost danega izraza.

Prav mogoče je, da obstaja še kakšna druga pot…

Naloga postavlja več dodatnih vprašanj, npr. pri katerih naravnih (ali vsaj racionalnih) številih a in b je izraz te oblike naravno število. S pomočjo tehnologije lahko najdemo nekaj najmanjših dvojic. Preizkusi naslednje pare:

a	9	14	20	26	40
b	80	169	392	675	1573