Arhiv Značk: matematika

Perioda neke funkcije

Objavljeno ,

Andrej je zastavil naslednjo nalogo:

Koliko je osnovna perioda funkcije f(x), za katero velja \sqrt{3}f(x) = f(x - 1) + f(x + 1)?

Rešitev: V zgornjo zvezo vstavimo najprej x=1 pa pridelamo zvezo:

    \[f(2)=\sqrt{3}f(1)-f(0).\]

Tako nadaljujemo, pa dobimo še

    \[f(3)=\sqrt{2}f(1)-f(1)=2f(1)-\sqrt{3}f(0),\]

    \[f(4)=\sqrt{3}f(1)-f(2)=\sqrt{3}f(1)-2f(0),\]

    \[f(5)=\sqrt{3}f(4)-f(3)=f(1)-\sqrt{3}f(0),\]

    \[f(6)=\sqrt{5}f(4)-f(4)=-f(1).\]

Zaslutimo, da smo na pol poti in tudi, kolikšn bo rezultat. Nadaljujemo:

    \[f(7)=\sqrt{3}f(6)-f(5)=f(1)-\sqrt{3}f(0),\]

    \[f(8)=\sqrt{3}f(7)-f(6)=-\sqrt{3}f(1)+f(0),\]

    \[f(9)=\sqrt{3}f(8)-f(7)=-2{3}f(1)+\sqrt{3}f(0),\]

    \[f(10)=\sqrt{3}f(9)-f(8)=-\sqrt{3}f(1)+2f(0),\]

    \[f(11)=\sqrt{3}f(10)-f(9)=-f(1)+\sqrt{3}f(0)\]

in nazadnje

    \[f(12)=\sqrt{3}f(11)-f(10)=f(0).\]

Ker je f(x+12)=f(x), je osnovna perioda te funkcije 12.

Katera funkcija bi to lahko bila, pa prepuščamo v razmislek naprednemu bralcu.

Anton Berce: Naravni številski sistem

Objavljeno ,

Moj prijatelj in študijski kolega Anton Berce v članku Naravni številski sistem razširi pojem faktorsko na negativna števila, razloži naravni  številski sistem in uvede relativne binomske formule.

Avtor piše o članku naslednje:

“V recenzijo Obzorniku sem ga prvič poslal jeseni 2004, potem pa pilil po pripombah recenzentov do pomladi 2005, pozno poleti pa mi je urednik sporočil, da so dolgo tehtali ali bi objavili ali ne, vendar pa je prevladalo mnenje, da je za bralce Obzornika prezahteven. Sicer mi je res predlagal da temo poenostavim, meni pa je zmanjkovalo volje in moči in tudi službene ter druge obveznosti, ki sem jih vsaj eno leto zaradi članka odlagal so začele terjati obresti. ”

Kliknite na povezavo:

THE NATURAL NUMBER SYSTEM

Vsota vrste (n+1)/6^(n+1)

Objavljeno ,

Izračunaj vsoto neskončne vrste:

    \[S = \frac{2}{6^2}+\frac{3}{6^3}+\frac{4}{6^4}+\dots\]

Eden od možnih načinov reševanja je lahko naslednji:

Kaže, da na desni strani manjka prvi člen, torej \frac{1}{6}. Zato bomo raje sešteli vrsto

    \[S_1 = \frac{1}{6}+\frac{2}{6^2}+\frac{3}{6^3}+\frac{4}{6^4}+\dots\]

Zapišimo člene te vrste v tabeli takole

\frac{1}{6}
\frac{1}{6^2},\frac{1}{6^2},
\frac{1}{6^3},\frac{1}{6^3},\frac{1}{6^3}
\frac{1}{6^4},\frac{1}{6^4},\frac{1}{6^4},\frac{1}{6^4}

\vdots

Sedaj pa ni več težko, saj imamo v stolpcih geometrijske vrste…in to z enakim količnikom…:-)

Intervju z učiteljem matematike o domačih nalogah

Objavljeno ,

Med urejanjem  (beri brisanjem) dokumentov po disku sem med množico razne solate, ki jo mora izpolniti današnji učitelj, našel tudi tale intervju. Ne spomnim se več, kdo je avtor vprašanj (morda se bo pa javil?), a  celoten intervju bi utegnil biti dobra informacija, namenjena predvsem dijakom in staršem, morda pa celo učiteljem.  Zato sem sklenil, da ga (skoraj) nespremenjenega objavim v spletni obliki.

  1. Kakšno je vaše mnenje o domačih nalogah? Katere so prednosti/slabosti domačih nalog?

Vprašanje je nekam čudno formulirano. Domače naloge so zelo, če ne najbolj pomemben del procesa pridobivanja in  utrjevanja znanja učenca. Brez samostojnega dela doma je učenčevo znanje precej podobno znanju butalskega kovača.

  1. Kakšna je po vašem mnenju dobro zastavljena domača naloga? Kakšna mora biti njena vsebina, obseg in predvidena časovna obremenitev?

Nalog mora biti ravno dovolj, da učenec pri (skoraj) vsaki naslednji pridobi ali utrdi del novega znanja ali novo izkušnjo, njen namen pa naj ne bo dril.  Upošteva naj načela od lažjega  k težjemu, od enostavnega k sestavljenemu, itd. Ker gre za individualno telo, lahko učenec naloge, ki se mu zdijo prelahke,  tudi preskoči. Časovno naj traja do šolsko uro za pripravljenega učenca, zajema pa naj tudi pregled že rešenih primerov.

  1. Koliko časa vi porabite pri sestavi domače naloge za učence?

Ker naloge poznam, običajno zadnjih 5 minut šolske ure. Učence opozorim na vrstni red reševanja, pri nalogah, kjer se mi zdi to potrebno, jim dam tudi kak namig. Včasih pa naloga zahteva tudi daljšo razlago.

  1. Na kakšen način posredujete (v katerem delu ure, …) in preverjate domače naloge?  

Proti koncu ure povem številke nalog iz učbenika ali zbirke vaj, po jemanju nove snovi jih napotim tudi na rešene primere v učbeniku, svojo spletni učilnico ter učilnico E-um.  Preverjam na začetku ure. Tu lahko učenci tudi vprašajo za potek tistih nalog, ki jih niso uspeli rešiti ali je jim ne ujema rezultat.

  1. Kakšna je po vašem mnenju vloga staršev pri domačih nalogah?

Različna. Nekateri starši se zavedajo, da rezultate lahko prinese samo trdo delo in podpirajo tako učenca kot učitelja, ki naloge daje, ostali pa iščejo za svoje otroke bližnjice in kričijo, da je nalog preveč.