PTR v srednji šoli (7)

novo seštevanje hitrosti

Ker pri velikih hitrostih ne veljajo Galilejeve transformacije, tudi staro seštevanje hitrosti ne velja več.  Izpeljimo  torej pravi izraz.

Naj se v sprevodnikovem sistemu premika palica proti začetku vlaka(spomnimo se, ta vozi mimo postajenačelnika s hitrostjo v) tako, da sprevodnik zanjo nameri hitrost v’.  Postajenačelnik pa uporabi Lorentzove transformacije in dobi

v_p=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{(\Delta x^\prime+v\Delta t^\prime)\sqrt{1-\beta^2}}{\sqrt{1-\beta^2}(\Delta t^\prime+(v/c^2)\Delta x^\prime)}

Okrajšamo korene in delimo števec in imenovalec z \Delta t^\prime,  pa dobimo

v_p=\frac{v+v^\prime}{1+\frac{v\cdot v^\prime}{c^2}}.\quad \quad \quad (1)

 V računu smo upoštevali, da je

v^\prime=\frac{\Delta x^\prime}{\Delta t^\prime}

hitrost, ki jo izmeri sprevodnik. Pa smo izpeljali novi obrazec za seštevanje hitrosti. Njegova značilnost je, da postajenačelnik ne more nameriti več kot c celo, če se vlak glede nanj giblje s hitrostjo c in se palica glede na vlak giblje s hitrostjo c.

Torej: če se vozite s hitrostjo c in svetite  z baterijo v smeri gibanja, ima svetloba baterije glede na mirujočega opazovalca hitrost c. To se seveda se ne sklada z Galilejevim seštevanjem hitrosti, ujema pa se z načelom o svetlobni hitrosti.

 

 

PTR v srednji šoli (6)

Zadnjič smo izpeljali Lorenzove transformacije, sedaj pa si oglejmo nekaj  zanimiviih posledic. Prva je skrčenje dolžine, druga pa podaljšanje časa.

Skrčenje (kontrakcija) dolžine

Imejmo v sprevodnikovem opazovalnem sistemu palico, položeno v smeri osi x'. Definirajmo najprej lastno dolžino </em>L_0 palice kot dolžino palice v sistemu, glede na katerega le-ta miruje. Ko torej sprevodnik izmeri njeno dolžino, dobi

    \[L_0=x_2^\prime-x_1^\prime\]

njeno lastno dolžino L_0. Ko pa isto palico meri postajenačelnik, (obe krajišči izmeri v istem trenutku, torej  t_1=t_2),  dobi

    \[L=x_2-x_1.\]

Velja

    \[L_0=x_2^\prime-x_1^\prime=\frac{x_2-x_1}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{L}{\sqrt{1-\beta^2}},\]

od koder dobimo

    \[L=L_o\sqrt{1-\beta^2}.\]

Ker je koren v izrazu manjši od 1, postajenačelnik torej nameri manj kot sprevodnik.  Zanj je  sprevodnikova palica krajša, do skrčitve pride samo v smeri gibanja. Hitro gibajoča se krogla ima torej obliko elipsoida s krajšo polosjo v smeri gibanja.

 Podaljšanje (Dilatacija )časa

Drugič pa naj se skupaj s sprevodnikom v točki x’ pelje ura, ki sprevodniku meri časovni interval

    \[t_o=t_2^\prime-t_1^\prime.\]

Podobno kot prej bomo časovni interval, ki ga ura meri v sistemu, glede na katerrega miruje, imenovali lastni čas.  Sprevodnik torej izmeri lastni čas te ure. A na uro gleda tudi postajenačelnik, ki izmeri časovni interval t takole

    \[t=t_2-t_1=\frac{(v/c^2)x^\prime+t_2^\prime-(v/c^2)x^\prime-t_1^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{t_2^\prime-t_1^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}}.\]

Za postajenačelnika je torej ta časovni interval daljši od tistega, ki ga je nameril sprevodnik, namreč

    \[t=\frac{t_o}{\sqrt{1-\beta^2}}.\]


Najhitreje torej teče lastni čas, vsi ostali inecialni sistemi pa namerijo daljše časovne intervale. 

Ravno podaljšanje časa je eksperimentalno največkrat preverjano. Eden od načinov je preverjanje z dovolj (na milijadinko sekunde) natančno uro, ki jo pošljejo v kovčku na potovanje z rednimi letalskimi linijami. Ko se vrne s potovanja, kaže manj kot njena predhodno umerjena dvojčica, ki je pred tem ostala na zemlji.

Drug način je podaljšanje razpadnega časa kozmičnih delcev, ki zaradi velike hitrosti puščajo  v detektorjih daljše sledi, kot bi jih sicer.

Tako skrčenje dolžin kot podaljšanje časa upoštevajo naprave  za natančno pozicioniranje GPS.

PTR v srednji šoli(5)

Zadnjič smo izpeljali  transformacije, ki ohranjajo razlike kvadratov  koordinat točk.  Uporabimo jih tokrat  za preračunavanje meritev med postajenačelnikom in sprevodnikom na drvečem vlaku. Spomnimo se, proti postajenačelniku vozi vzdolž njegove x-osi vlak s hitrostjo v , ki ni majhna v primeri s hitrostjo svetobe c.  Postajenačelnik meri čas t in koordinato x, njemu torej pripada urejen par (ct,x). Sprevodnik pa meri čas t’ in koordinato x’ vzdolž smeri gibanja, tako da mu pripada urejen par (ct’,x’).  Čase v pomnožimo  s konstanto c zato, da imata  komponenti  v urejenem paru enako enoto. Zadnjič smo videli, da se v vseh opazovalnih sistemih ohranja izraz:

    \[x^2-ct^2=x^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}.\]

Uporabimo torej nove transformacije. Dobimo

    \[ct^\prime=\frac{ct-\beta x}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x^\prime=\frac{-\beta ct+x}{\sqrt{1-\beta^2}}.\]

  Parameter \beta je odvisen od hitrosti vlaka. Opazujmo točko,  ki glede na sprevodnika miruje, torej x’=0. Iz zadnje zveze dobimo

    \[x^\prime=0\Rightarrow x=\beta ct\Rightarrow \beta c=v.\]

\beta je torej

    \[\beta=\frac{v}{c}.\]

Upoštevajmo to v zgornjih zvezah, prvo tudi delimo z c, pa dobimo Lorentzovi formuli

    \[t^\prime=\frac{t-(v/c^2)x}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x^\prime=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\beta^2}}\]

ter njuna obrata

    \[t=\frac{t^\prime+(v/c^2)x^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x=\frac{x^\prime+vt^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}}.\]

PTR v srednji šoli(4)

NOVE TRANSFORMACIJE

Iščemo torej linearno transformacijo, ki prevede točko (u,v) v točko (u^\prime,v^\prime) tako, da  velja zveza

    \[u^{\prime 2}-v^{\prime 2}=u^2-v^2.\]

Ker je transformacija linearna,  jo iščemo v obliki

    \[u=Au^\prime +Bv^\prime \qquad v=Cu^\prime +Dv^\prime ,\]

pri čemer so A, B,C in D konstante, ki jih je treba določiti. Vstavimo zato te transformacije v zgornjo enačbo, pa dobimo

    \[(Au^\prime+Bv^\prime )^2-(Cu^\prime+Dv^\prime )^2=u^{\prime2}-v^{\prime 2}.\]

Po kvadriranju in primerjanju koeficientov dobimo naslednje enačbe

    \[A^2-C^2=1,\quad AB=CD, \quad C^2-D^2=-1.\]

Imamo torej tri enačbe in štriri neznanke. Zato uvedemo parameter

    \[\beta=\frac{C}{A}=\frac{B}{D}\]

ter z njim izrazimo vse koeficiente. Dobimo

    \[A=D=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad B=C=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}\]

Iskane transformacije so torej

    \[u=\frac{u^\prime+\beta v^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad v=\frac{\beta u^\prime+v^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},\]

obratne transformacije pa

    \[u^\prime=\frac{u-\beta v}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad v^\prime=\frac{-\beta u+v}{\sqrt{1-\beta^2}}.\]

Naslednjič pa jim bomo dali fizikalni pomen.

PTR v srednji šoli(3)

Oba inercialna sistema so povezovale Galilejeve transformacije, a te smo v zadnjem poglavju razglasi za neveljavne. Potrebujemo torej nove transformacije.

Vprašamo se, ali je kaj, kar opišeta enako oba,  sprevodnik in postajenačelnik.  Odgovor nam spet prinese naslednji miselni poskus:

Mislimo si, da se vlak s sprevodnikom približuje postajenačelniku. Koordinatna sistema obeh imata vzporedne osi, vlak in z njim gibajoći se koordinatni sistem pa se giblje  v smeri  postajenačelnikove x-osi.  V trenutku, so oba koordinatna sistema pokrijeta, na vlaku zasveti okrogla luč..  Sprevodnik  opiše svetlobo kot krogelni val, ki se širi s hitrostjo svetlobe c na vse strani, torej

    \[x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=c^2t^{\prime 2}.\]

.

Postajenačelnik pa val opiše podobno, a v svojih koordinatah

    \[x^{2}+y^{2}+z^{ 2}=c^2t^{2}.\]

Vidimo torej, da sta opisa enaka. Velja torej

    \[x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}=x^{2}+y^{2}+z^{ 2}-c^2t^{2}.\]

.

Ker se vlak giblje prečno na koordinate

    \[y,y^\prime, z, z^\prime,\]

je

    \[y=y^\prime,\quad z=z^\prime,\]

pa se zgornja zveza še poenostavi v

    \[x^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}=x^{2}-c^2t^{2}.\]

.

Iščemo torej linearno transformacijo, ki bo zadostila zgornji enačbi.