Arhiv Značk: posebna teorija relativnosti

PTR v srednji šoli (7)

Objavljeno ,

novo seštevanje hitrosti

Ker pri velikih hitrostih ne veljajo Galilejeve transformacije, tudi staro seštevanje hitrosti ne velja več.  Izpeljimo  torej pravi izraz.

Naj se v sprevodnikovem sistemu premika palica proti začetku vlaka(spomnimo se, ta vozi mimo postajenačelnika s hitrostjo v) tako, da sprevodnik zanjo nameri hitrost v’.  Postajenačelnik pa uporabi Lorentzove transformacije in dobi

v_p=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{(\Delta x^\prime+v\Delta t^\prime)\sqrt{1-\beta^2}}{\sqrt{1-\beta^2}(\Delta t^\prime+(v/c^2)\Delta x^\prime)}

Okrajšamo korene in delimo števec in imenovalec z \Delta t^\prime,  pa dobimo

v_p=\frac{v+v^\prime}{1+\frac{v\cdot v^\prime}{c^2}}.\quad \quad \quad (1)

 V računu smo upoštevali, da je

v^\prime=\frac{\Delta x^\prime}{\Delta t^\prime}

hitrost, ki jo izmeri sprevodnik. Pa smo izpeljali novi obrazec za seštevanje hitrosti. Njegova značilnost je, da postajenačelnik ne more nameriti več kot c celo, če se vlak glede nanj giblje s hitrostjo c in se palica glede na vlak giblje s hitrostjo c.

Torej: če se vozite s hitrostjo c in svetite  z baterijo v smeri gibanja, ima svetloba baterije glede na mirujočega opazovalca hitrost c. To se seveda se ne sklada z Galilejevim seštevanjem hitrosti, ujema pa se z načelom o svetlobni hitrosti.

 

 

PTR v srednji šoli (6)

Objavljeno ,

Zadnjič smo izpeljali Lorenzove transformacije, sedaj pa si oglejmo nekaj  zanimiviih posledic. Prva je skrčenje dolžine, druga pa podaljšanje časa.

Skrčenje (kontrakcija) dolžine

Imejmo v sprevodnikovem opazovalnem sistemu palico, položeno v smeri osi x'. Definirajmo najprej lastno dolžino </em>L_0 palice kot dolžino palice v sistemu, glede na katerega le-ta miruje. Ko torej sprevodnik izmeri njeno dolžino, dobi

    \[L_0=x_2^\prime-x_1^\prime\]

njeno lastno dolžino L_0. Ko pa isto palico meri postajenačelnik, (obe krajišči izmeri v istem trenutku, torej  t_1=t_2),  dobi

    \[L=x_2-x_1.\]

Velja

    \[L_0=x_2^\prime-x_1^\prime=\frac{x_2-x_1}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{L}{\sqrt{1-\beta^2}},\]

od koder dobimo

    \[L=L_o\sqrt{1-\beta^2}.\]

Ker je koren v izrazu manjši od 1, postajenačelnik torej nameri manj kot sprevodnik.  Zanj je  sprevodnikova palica krajša, do skrčitve pride samo v smeri gibanja. Hitro gibajoča se krogla ima torej obliko elipsoida s krajšo polosjo v smeri gibanja.

 Podaljšanje (Dilatacija )časa

Drugič pa naj se skupaj s sprevodnikom v točki x’ pelje ura, ki sprevodniku meri časovni interval

    \[t_o=t_2^\prime-t_1^\prime.\]

Podobno kot prej bomo časovni interval, ki ga ura meri v sistemu, glede na katerrega miruje, imenovali lastni čas.  Sprevodnik torej izmeri lastni čas te ure. A na uro gleda tudi postajenačelnik, ki izmeri časovni interval t takole

    \[t=t_2-t_1=\frac{(v/c^2)x^\prime+t_2^\prime-(v/c^2)x^\prime-t_1^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{t_2^\prime-t_1^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}}.\]

Za postajenačelnika je torej ta časovni interval daljši od tistega, ki ga je nameril sprevodnik, namreč

    \[t=\frac{t_o}{\sqrt{1-\beta^2}}.\]


Najhitreje torej teče lastni čas, vsi ostali inecialni sistemi pa namerijo daljše časovne intervale. 

Ravno podaljšanje časa je eksperimentalno največkrat preverjano. Eden od načinov je preverjanje z dovolj (na milijadinko sekunde) natančno uro, ki jo pošljejo v kovčku na potovanje z rednimi letalskimi linijami. Ko se vrne s potovanja, kaže manj kot njena predhodno umerjena dvojčica, ki je pred tem ostala na zemlji.

Drug način je podaljšanje razpadnega časa kozmičnih delcev, ki zaradi velike hitrosti puščajo  v detektorjih daljše sledi, kot bi jih sicer.

Tako skrčenje dolžin kot podaljšanje časa upoštevajo naprave  za natančno pozicioniranje GPS.

PTR v srednji šoli(5)

Objavljeno ,

Zadnjič smo izpeljali  transformacije, ki ohranjajo razlike kvadratov  koordinat točk.  Uporabimo jih tokrat  za preračunavanje meritev med postajenačelnikom in sprevodnikom na drvečem vlaku. Spomnimo se, proti postajenačelniku vozi vzdolž njegove x-osi vlak s hitrostjo v , ki ni majhna v primeri s hitrostjo svetobe c.  Postajenačelnik meri čas t in koordinato x, njemu torej pripada urejen par (ct,x). Sprevodnik pa meri čas t’ in koordinato x’ vzdolž smeri gibanja, tako da mu pripada urejen par (ct’,x’).  Čase v pomnožimo  s konstanto c zato, da imata  komponenti  v urejenem paru enako enoto. Zadnjič smo videli, da se v vseh opazovalnih sistemih ohranja izraz:

    \[x^2-ct^2=x^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}.\]

Uporabimo torej nove transformacije. Dobimo

    \[ct^\prime=\frac{ct-\beta x}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x^\prime=\frac{-\beta ct+x}{\sqrt{1-\beta^2}}.\]

  Parameter \beta je odvisen od hitrosti vlaka. Opazujmo točko,  ki glede na sprevodnika miruje, torej x’=0. Iz zadnje zveze dobimo

    \[x^\prime=0\Rightarrow x=\beta ct\Rightarrow \beta c=v.\]

\beta je torej

    \[\beta=\frac{v}{c}.\]

Upoštevajmo to v zgornjih zvezah, prvo tudi delimo z c, pa dobimo Lorentzovi formuli

    \[t^\prime=\frac{t-(v/c^2)x}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x^\prime=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\beta^2}}\]

ter njuna obrata

    \[t=\frac{t^\prime+(v/c^2)x^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x=\frac{x^\prime+vt^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}}.\]

PTR v srednji šoli(4)

Objavljeno ,

NOVE TRANSFORMACIJE

Iščemo torej linearno transformacijo, ki prevede točko (u,v) v točko (u^\prime,v^\prime) tako, da  velja zveza

    \[u^{\prime 2}-v^{\prime 2}=u^2-v^2.\]

Ker je transformacija linearna,  jo iščemo v obliki

    \[u=Au^\prime +Bv^\prime \qquad v=Cu^\prime +Dv^\prime ,\]

pri čemer so A, B,C in D konstante, ki jih je treba določiti. Vstavimo zato te transformacije v zgornjo enačbo, pa dobimo

    \[(Au^\prime+Bv^\prime )^2-(Cu^\prime+Dv^\prime )^2=u^{\prime2}-v^{\prime 2}.\]

Po kvadriranju in primerjanju koeficientov dobimo naslednje enačbe

    \[A^2-C^2=1,\quad AB=CD, \quad C^2-D^2=-1.\]

Imamo torej tri enačbe in štriri neznanke. Zato uvedemo parameter

    \[\beta=\frac{C}{A}=\frac{B}{D}\]

ter z njim izrazimo vse koeficiente. Dobimo

    \[A=D=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad B=C=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}\]

Iskane transformacije so torej

    \[u=\frac{u^\prime+\beta v^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad v=\frac{\beta u^\prime+v^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},\]

obratne transformacije pa

    \[u^\prime=\frac{u-\beta v}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad v^\prime=\frac{-\beta u+v}{\sqrt{1-\beta^2}}.\]

Naslednjič pa jim bomo dali fizikalni pomen.

PTR v srednji šoli(3)

Objavljeno ,

Oba inercialna sistema so povezovale Galilejeve transformacije, a te smo v zadnjem poglavju razglasi za neveljavne. Potrebujemo torej nove transformacije.

Vprašamo se, ali je kaj, kar opišeta enako oba,  sprevodnik in postajenačelnik.  Odgovor nam spet prinese naslednji miselni poskus:

Mislimo si, da se vlak s sprevodnikom približuje postajenačelniku. Koordinatna sistema obeh imata vzporedne osi, vlak in z njim gibajoći se koordinatni sistem pa se giblje  v smeri  postajenačelnikove x-osi.  V trenutku, so oba koordinatna sistema pokrijeta, na vlaku zasveti okrogla luč..  Sprevodnik  opiše svetlobo kot krogelni val, ki se širi s hitrostjo svetlobe c na vse strani, torej

    \[x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=c^2t^{\prime 2}.\]

.

Postajenačelnik pa val opiše podobno, a v svojih koordinatah

    \[x^{2}+y^{2}+z^{ 2}=c^2t^{2}.\]

Vidimo torej, da sta opisa enaka. Velja torej

    \[x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}=x^{2}+y^{2}+z^{ 2}-c^2t^{2}.\]

.

Ker se vlak giblje prečno na koordinate

    \[y,y^\prime, z, z^\prime,\]

je

    \[y=y^\prime,\quad z=z^\prime,\]

pa se zgornja zveza še poenostavi v

    \[x^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}=x^{2}-c^2t^{2}.\]

.

Iščemo torej linearno transformacijo, ki bo zadostila zgornji enačbi.