PTR v srednji šoli(12)

Zadnjič smo izpeljali izraz kinetično energijo v PTR, dobili smo

[math]W_k=m_oc^2(\gamma-1).[/math]

Pri majhnih hitrostih mora ta formula preiti v običajno formulo za kinetično energijo, katero poznamo že iz osnovne šole. Poglejmo, kako.

[math]W_k=m_oc^2(\gamma-1)=m_oc^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)=m_oc^2\left(\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}-1\right)[/math]

Koren razvijemo v binomsko vrsto. Kako? Spomnimo se na binomski izrek, ki pove, kako izračunamo potenco dvočlenika

[math](a+b)^n={n \choose 0} a^nb^0+{n \choose 1} a^{n-1}b^1+{n \choose 2} a^{n-2}b^2+\dots {n \choose n} a^ob^n[/math]

V prejšnjih primerih je bil n naravno število in izraz na desni veččlenik. Tokrat pa imamo v eksponentu -1/2 , zato bo členov neskončno – binomska vrsta. A potrebujemo le nekaj členov. Izračunajmo nekaj začetnih binomskih simbolov (spomnimo se tudi na njihove lastnosti)

[math]{-\frac{1}{2} \choose 0}=1,~~{-\frac{1}{2} \choose 1}=-\frac{1}{2},~~{-\frac{1}{2} \choose 2}=\frac{-\frac{1}{2}\left( -\frac{3}{2}\right)}{1\cdot 2}=\frac{3}{8},\dots[/math]

Sestavimo torej v zgornjem izrazu  vrsto

[math]W_k=m_oc^2(\gamma-1)=m_oc^2\left(1+\frac{1v^2}{2c^2}+\frac{3v^4}{8c^4}+\dots -1\right)[/math]

Matematik je svoje delo opravil, sedaj pa nastopi fizik. Ker je

[math]v<<c,[/math]

lahko v napisani vrsti vse člene od vključno tretjega naprej zanemarimo, saj so premajhni, da bi kaj prispevali.  Prvi in zadnji člen v oklepaju se še odštejeta, tako da ostane samo drugi. Dobimo torej

[math]W_k=\frac{m_ov^2}{2},[/math]

kar smo tudi pričakovali.

konec

PTR v srednji šoli (11)

Poglejmo še, kako je v PTR z delom in energijo. Najprej ugotovimo, da 2. Newtonov zakon v obliki

[math]\vec{F}=m\vec{a}[/math]

ne velja,  saj je masa telesa odvisna  od hitrostji. Zapisati ga moramo  takole

[math]\vec{F}=\frac{d\vec{G}}{dt},[/math]

pri čemer je

[math]\vec{G}=m\vec{v}[/math]

gibalna količina telesa.  Delo, ki ga opravi ta sila, je torej enako

[math]A=\int_{x_1}^{x_2}{F(x)dx}=\int_{x_1}^{x_2}{\frac{dG}{dt}dx}=\int_{G_1}^{G_2}{vdG}[/math]

 Pozabavajmo se  najprej z nedeločeni integralom – integrandu poiščimo primitivno funkcijo. Integrala se najprej lotimo “per partes”

[math]\int{vdG}=vG-\int{Gdv}=vG-m_o\int{\frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}},[/math]

nato pa uvedemo novo spremenljivko

[math]1-\frac{v^2}{c^2}=u.[/math]

Dobimo, da je zadnji integral enak

[math]m_o\int{\frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}=-m_oc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},[/math]

kar skupaj da iskano funkcijo

[math]\int{vdG}=\frac{m_ov^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+m_oc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{m_o(v^2+c^2-v^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}})}=mc^2.[/math]

Delo je torej enako spremembi zgornje funkcije

[math]A=\int_{G_1}^{G_2}{vdG}=(m_2-m_1)c^2.[/math]

Iz fizike pa poznamo izrek o mehanski energiji: Delo je enako spremembi mehanske  energije telesa.  Zato  prepoznamo v zgornji funkciji energijo telesa:

[math]W=mc^2~~~~(1)[/math]

Telo, ki miruje,  ima torej mirovno ali lastno  energijo

[math]W_o=m_oc^2~~~~(2)[/math]

Enačba (1) je najbrž najslavnejša fizikalna enačba. O njej poje celo pesem  J. Menarta:

Oda od, balada balad, E=mc². 

Enačba (2) pa daje odgovor na pomembno vprašanje: Kaj je masa? V obrazcu vidimo, da je masa energija, deljena s kvadratom konstante, torej (zelo zgoščena) energija.

Polno energijo delca W  definiramo kot vsoto njegove lastne in kinetične energije, torej

[math]W=W_o+W_k.[/math]

Od tod dobimo za kinetično energijo naslednji izraz

[math]W_k=W-W_o=mc^2-m_oc^2=m_oc^2(\gamma-1).[/math]

Pri tem je seveda [math]\gamma[/math] relativistični faktor, omenjen v prejšnjih poglavjih.

PTR v srednji šoli(10)

povečanje mase

Zadnjič smo ugotovili, da so dogodki, kot jih izmerita postajenačelnik in sprevodnik, štiri razsežni vektorji v prostoru-času. Če upoštevamo, da se koordinati y in z, ki sta prečni na gibanje vlaka, ne spreminjata, zadošča, da pišemo samo dvorazsežne vektorje, torej

\[\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}\]     in     \[\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\end{bmatrix}\]

Tudi druge količine nastopajo v PTR v parih. Hitrost,  kot jo izmeri postajenačelnik, je npr. odvod dogodka po času, torej

\[\begin{bmatrix}\dot{ct}\\\dot{x}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\\v\end{bmatrix}\]      in     \[\begin{bmatrix}\dot{ct^\prime}\\\dot{x^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\\v^\prime\end{bmatrix}.\]

Ravno tako zapišemo gibalno količino v obeh sistemih

\[\begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}\]      in      \[\begin{bmatrix}{G_o^\prime}\\{G^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}m^\prime c\\m^\prime v^\prime\end{bmatrix}.\]

Vemo že, da  dogodka tudi gibalni količini, ki ju  izmerita sprevodnik in postajenačelnik, vežeta Lorentzovi transformaciji

\[
\begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}G_o^\prime\\G^\prime\end{bmatrix}
\]

Opazujmo telo, ki se pelje v vlaku in miruje glede na sprevodnika, tako da on izmeri lastno maso telesa

\[m^\prime=m_o\]

Njegova gibalna količina je za postajenačelnika

  \[\begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}\],

za sprevodnika pa

\[\begin{bmatrix}{G_o^\prime}\\{G^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}m_o c\\0\end{bmatrix}.\]

Vstavimo to v Lorentzove transformacije, pa dobimo

\[
\begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}m_oc\\0\end{bmatrix}
\]

Prva vrstica nam da

\[mc=\frac{m_oc}{\sqrt{1-\beta^2}},\]

druga pa

\[mv=\frac{\beta m_oc}{\sqrt{1-\beta^2}}.\]

Upoštevajmo v obeh relacijah, da je

\[\beta=\frac{v}{c},\]

pa dobimo obakrat

\[m=\frac{m_o}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.\]

Masa delca se torej poveča za vse opazovalce, ki ne mirujejo glede nanjo. Povečanje je skladno z relativističnim faktorjem, svetlobni hitrosti bi ustrezala naskončna masa delca. Posledica tega je, da delec, ki mirovno maso ima, ne more doseči svetlobne hitrosti.

Tako se lahko s svetlobno hitrostjo lahko gibljejo samo delci brez mirovne mase, npr. fotoni. Vendar se delci z mirovno maso, kot so npr. elektroni ali protoni, lahko, če imajo dovolj energije (npr. v pospeševalnikih) tej hitrostil zelo približajo.

PTR v srednji šoli(9)

Lorenzove transformacije lahko zapišemo v kompaktnejši matrični obliki:

\[
\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\end{bmatrix}
\]

V njej nastopa Lorenzova matrika

\[
\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}&\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}\\\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}&\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
\end{bmatrix}\quad\quad\quad(1)
\]

Prvo koordinato v levem vektorju enačbe (1) dobimo tako, da skalarno pomnožimo 1. vrstico matrike z desnim vektorjem in podobno tudi 2. koordinato. Pred matriko je relativistični faktor.

Opazimo, da se s svetlobno hitrostjo c pomnoženi čas v zapisu obnaša tako kot koordinata x. Če pišemo še koordinati y in z, ki sta prečni na smer gibanja, dobimo

\[
\begin{bmatrix}
ct\\x\\y\\z
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\gamma& \gamma\beta&0&0\\\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
ct^\prime\\x^\prime\\y^\prime\\z^\prime\end{bmatrix}
\]

Seveda tudi tu velja, da dobimo i-to komponento levega vektorja tako, da skalarno pomnožimo i-to vrstico matrike z desnim vektorjem. Še obratna Lorenzova transformacija:

\[
\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\\y^\prime\\z^\prime
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\gamma& -\gamma\beta&0&0\\-\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z
\end{bmatrix}
\]

Relacije nam ponujajo odgovor na vprašanje, kaj je čas. Čas je pač ena od koordinat štirirazsežnega prostora-časa. Vektorju

\[
\begin{bmatrix}
ct\\x\\y\\z
\end{bmatrix}\]

pravimo dogodek  v prostoru- času. Lorentzove transformacije nam pomagajo preračunavati dogodke iz enega v drug inercialni sistem v prostoru-času.

PTR v srednji šoli(8)

V obrazcih posebne teorije relativnosti se ves čas pojavlja relativistični faktor

[math]\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},[/math]

pri čemer je

[math]\beta=\frac{v}{c}[/math]

razmerje med hitrostjo telesa in svetlobno hitrostjo.  Odvisnost relativističnega faktorja od tega razmerja kaže naslednja animacija

 

Opazimo, da je pri običajnih hitrostih ta faktor blizu 1, zato relativističnih pojavov ne opazimo in lahko uporabljamo tudi Galilejeve transformacije. Faktor je treba upoštevati šele, ko imamo opravka s hitrostmi, ki niso majhne v primeri s hitrostjo svetlobe, pa tudi, ko potrebujemo izjemno natančnost meritev.