PTR v srednji šoli(12)

Nazaj

Zadnjič smo izpeljali izraz kinetično energijo v PTR, dobili smo

$$W_k=m_oc^2(\gamma-1).$$

Pri majhnih hitrostih mora ta formula preiti v običajno formulo za kinetično energijo, katero poznamo že iz osnovne šole. Poglejmo, kako.

$$W_k=m_oc^2(\gamma-1)=m_oc^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)=m_oc^2\left(\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}-1\right)$$

Koren razvijemo v binomsko vrsto. Kako? Spomnimo se na binomski izrek, ki pove, kako izračunamo potenco dvočlenika

$$(a+b)^n={n \choose 0} a^nb^0+{n \choose 1} a^{n-1}b^1+{n \choose 2} a^{n-2}b^2+\dots {n \choose n} a^ob^n$$

V prejšnjih primerih je bil $n$ naravno število in izraz na desni veččlenik. Tokrat pa imamo v eksponentu $-1/2$ , zato bo členov neskončno – binomska vrsta. A potrebujemo le nekaj členov. Izračunajmo nekaj začetnih binomskih simbolov (spomnimo se tudi na njihove lastnosti)

$${-\frac{1}{2} \choose 0}=1,~~{-\frac{1}{2} \choose 1}=-\frac{1}{2},~~{-\frac{1}{2} \choose 2}=\frac{-\frac{1}{2}\left( -\frac{3}{2}\right)}{1\cdot 2}=\frac{3}{8},\dots$$

Sestavimo torej v zgornjem izrazu  vrsto

$$W_k=m_oc^2(\gamma-1)=m_oc^2\left(1+\frac{1v^2}{2c^2}+\frac{3v^4}{8c^4}+\dots -1\right)$$

Matematik je svoje delo opravil, sedaj pa nastopi fizik. Ker je

$$v<<c,$$

lahko v napisani vrsti vse člene od vključno tretjega naprej zanemarimo, saj so premajhni, da bi kaj bistvenega prispevali.  Prvi in zadnji člen v oklepaju se še odštejeta, tako da ostane samo drugi. Dobimo torej

$$W_k=\frac{m_ov^2}{2},$$

kar smo tudi pričakovali.

konec

PTR v srednji šoli (11)

Poglejmo še, kako je v PTR z delom in energijo. Najprej ugotovimo, da 2. Newtonov zakon v obliki

$$\vec{F}=m\vec{a}$$

ne velja,  saj  masa telesa ni stalna, temveč odvisna  od hitrosti. Zapisati ga moramo  takole

$$\vec{F}=\frac{d\vec{G}}{dt},$$

pri čemer je

$$\vec{G}=m\vec{v}$$

gibalna količina telesa.  Delo, ki ga opravi ta sila, je torej enako

$$A=\int_{x_1}^{x_2}{F(x)dx}=\int_{x_1}^{x_2}{\frac{dG}{dt}dx}=\int_{G_1}^{G_2}{vdG}$$

 Pozabavajmo se  najprej z nedeločeni integralom – integrandu poiščimo primitivno funkcijo. Integrala se najprej lotimo “per partes”

$$\int{vdG}=vG-\int{Gdv}=vG-m_o\int{\frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}},$$

nato pa uvedemo novo spremenljivko

$$1-\frac{v^2}{c^2}=u.$$

Dobimo, da je zadnji integral enak

$$m_o\int{\frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}=-m_oc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},$$

kar skupaj da iskano funkcijo

$$\int{vdG}=\frac{m_ov^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+m_oc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{m_o(v^2+c^2-v^2)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}})}=mc^2.$$

Delo je torej enako spremembi zgornje funkcije

$$A=\int_{G_1}^{G_2}{vdG}=(m_2-m_1)c^2.$$

Iz fizike pa poznamo izrek o mehanski energiji: Delo je enako spremembi mehanske  energije telesa.  Zato  prepoznamo v zgornji funkciji energijo telesa:

$$W=mc^2~~~~(1)$$

Telo, ki miruje,  ima torej mirovno ali lastno  energijo

$$W_o=m_oc^2~~~~(2)$$

Enačba (1) je najbrž najslavnejša fizikalna enačba. O njej poje celo pesem  J. Menarta:

Oda od, balada balad, E=mc². 

Enačba (2) pa daje odgovor na pomembno vprašanje: Kaj je masa? V obrazcu vidimo, da je masa energija, deljena s kvadratom konstante, torej (zelo zgoščena) energija.

Polno energijo delca W  definiramo kot vsoto njegove lastne in kinetične energije, torej

$$W=W_o+W_k.$$

Od tod dobimo za kinetično energijo naslednji izraz

$$W_k=W-W_o=mc^2-m_oc^2=m_oc^2(\gamma-1).$$

Pri tem je seveda $\gamma$ relativistični faktor, omenjen v prejšnjih poglavjih.

Naprej

PTR v srednji šoli(10)

povečanje mase

Zadnjič smo ugotovili, da so dogodki, kot jih izmerita postajenačelnik in sprevodnik, štiri razsežni vektorji v prostoru-času. Če upoštevamo, da se koordinati y in z, ki sta prečni na gibanje vlaka, ne spreminjata, zadošča, da pišemo samo dvorazsežne vektorje, torej

\[\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}\]     in     \[\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\end{bmatrix}\]

Tudi druge količine nastopajo v PTR v parih. Hitrost,  kot jo izmeri postajenačelnik, je npr. odvod dogodka po času, torej

\[\begin{bmatrix}\dot{ct}\\\dot{x}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\\v\end{bmatrix}\]      in     \[\begin{bmatrix}\dot{ct^\prime}\\\dot{x^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\\v^\prime\end{bmatrix}.\]

Ravno tako zapišemo gibalno količino v obeh sistemih

\[\begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}\]      in      \[\begin{bmatrix}{G_o^\prime}\\{G^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}m^\prime c\\m^\prime v^\prime\end{bmatrix}.\]

Vemo že, da  dogodka tudi gibalni količini, ki ju  izmerita sprevodnik in postajenačelnik, vežeta Lorentzovi transformaciji

\[
\begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}G_o^\prime\\G^\prime\end{bmatrix}
\]

Opazujmo telo, ki se pelje v vlaku in miruje glede na sprevodnika, tako da on izmeri lastno maso telesa

\[m^\prime=m_o\]

Njegova gibalna količina je za postajenačelnika

  \[\begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}\],

za sprevodnika pa

\[\begin{bmatrix}{G_o^\prime}\\{G^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}m_o c\\0\end{bmatrix}.\]

Vstavimo to v Lorentzove transformacije, pa dobimo

\[
\begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}m_oc\\0\end{bmatrix}
\]

Prva vrstica nam da

\[mc=\frac{m_oc}{\sqrt{1-\beta^2}},\]

druga pa

\[mv=\frac{\beta m_oc}{\sqrt{1-\beta^2}}.\]

Upoštevajmo v obeh relacijah, da je

\[\beta=\frac{v}{c},\]

pa dobimo obakrat

\[m=\frac{m_o}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.\]

Masa delca se torej poveča za vse opazovalce, ki ne mirujejo glede nanjo. Povečanje je skladno z relativističnim faktorjem, svetlobni hitrosti bi ustrezala naskončna masa delca. Posledica tega je, da delec, ki mirovno maso ima, ne more doseči svetlobne hitrosti.

Tako se lahko s svetlobno hitrostjo lahko gibljejo samo delci brez mirovne mase, npr. fotoni. Vendar se delci z mirovno maso, kot so npr. elektroni ali protoni, lahko, če imajo dovolj energije (npr. v pospeševalnikih) tej hitrostil zelo približajo.

PTR v srednji šoli(9)

Lorenzove transformacije lahko zapišemo v kompaktnejši matrični obliki:

\[
\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\end{bmatrix}
\]

V njej nastopa Lorenzova matrika

\[
\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}&\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}\\\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}&\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
\end{bmatrix}\quad\quad\quad(1)
\]

Prvo koordinato v levem vektorju enačbe (1) dobimo tako, da skalarno pomnožimo 1. vrstico matrike z desnim vektorjem in podobno tudi 2. koordinato. Pred matriko je relativistični faktor.

Opazimo, da se s svetlobno hitrostjo c pomnoženi čas v zapisu obnaša tako kot koordinata x. Če pišemo še koordinati y in z, ki sta prečni na smer gibanja, dobimo

\[
\begin{bmatrix}
ct\\x\\y\\z
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\gamma& \gamma\beta&0&0\\\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
ct^\prime\\x^\prime\\y^\prime\\z^\prime\end{bmatrix}
\]

Seveda tudi tu velja, da dobimo i-to komponento levega vektorja tako, da skalarno pomnožimo i-to vrstico matrike z desnim vektorjem. Še obratna Lorenzova transformacija:

\[
\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\\y^\prime\\z^\prime
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\gamma& -\gamma\beta&0&0\\-\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z
\end{bmatrix}
\]

Relacije nam ponujajo odgovor na vprašanje, kaj je čas. Čas je pač ena od koordinat štirirazsežnega prostora-časa. Vektorju

\[
\begin{bmatrix}
ct\\x\\y\\z
\end{bmatrix}\]

pravimo dogodek  v prostoru- času. Lorentzove transformacije nam pomagajo preračunavati dogodke iz enega v drug inercialni sistem v prostoru-času.

PTR v srednji šoli(8)

V obrazcih posebne teorije relativnosti se ves čas pojavlja relativistični faktor

$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},$$

pri čemer je

$$\beta=\frac{v}{c}$$

razmerje med hitrostjo telesa in svetlobno hitrostjo.  Odvisnost relativističnega faktorja od tega razmerja kaže naslednja animacija

 

Opazimo, da je pri običajnih hitrostih ta faktor blizu 1, zato relativističnih pojavov ne opazimo in lahko uporabljamo tudi Galilejeve transformacije. Faktor je treba upoštevati šele, ko imamo opravka s hitrostmi, ki niso majhne v primeri s hitrostjo svetlobe, pa tudi, ko potrebujemo izjemno natančnost meritev.

PTR v srednji šoli (7)

novo seštevanje hitrosti

Ker pri velikih hitrostih ne veljajo Galilejeve transformacije, tudi staro seštevanje hitrosti ne velja več.  Izpeljimo  torej pravi izraz.

Naj se v sprevodnikovem sistemu premika palica proti začetku vlaka(spomnimo se, ta vozi mimo postajenačelnika s hitrostjo v) tako, da sprevodnik zanjo nameri hitrost v’.  Postajenačelnik pa uporabi Lorentzove transformacije in dobi

[math]v_p=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{(\Delta x^\prime+v\Delta t^\prime)\sqrt{1-\beta^2}}{\sqrt{1-\beta^2}(\Delta t^\prime+(v/c^2)\Delta x^\prime)}[/math]

Okrajšamo korene in delimo števec in imenovalec z [math]\Delta t^\prime,[/math]  pa dobimo

[math]v_p=\frac{v+v^\prime}{1+\frac{v\cdot v^\prime}{c^2}}.\quad \quad \quad (1)[/math]

 V računu smo upoštevali, da je

[math]v^\prime=\frac{\Delta x^\prime}{\Delta t^\prime}[/math]

hitrost, ki jo izmeri sprevodnik. Pa smo izpeljali novi obrazec za seštevanje hitrosti. Njegova značilnost je, da postajenačelnik ne more nameriti več kot c celo, če se vlak glede nanj giblje s hitrostjo c in se palica glede na vlak giblje s hitrostjo c.

Torej: če se vozite s hitrostjo c in svetite  z baterijo v smeri gibanja, ima svetloba baterije glede na mirujočega opazovalca hitrost c. To se seveda se ne sklada z Galilejevim seštevanjem hitrosti, ujema pa se z načelom o svetlobni hitrosti.

 

 

PTR v srednji šoli (6)

Zadnjič smo izpeljali Lorenzove transformacije, sedaj pa si oglejmo nekaj  zanimiviih posledic. Prva je skrčenje dolžine, druga pa podaljšanje časa.

Skrčenje (kontrakcija) dolžine

Imejmo v sprevodnikovem opazovalnem sistemu palico, položeno v smeri osi $x’$. Definirajmo najprej lastno dolžino $L_0$ palice kot dolžino palice v sistemu, glede na katerega le-ta miruje. Ko torej sprevodnik izmeri njeno dolžino, dobi

$$L_0=x_2^\prime-x_1^\prime$$

njeno lastno dolžino $L_0.$ Ko pa isto palico meri postajenačelnik, (obe krajišči izmeri v istem trenutku, torej  $t_1=t_2$),  dobi

$$L=x_2-x_1.$$

Velja

$$L_0=x_2^\prime-x_1^\prime=\frac{x_2-x_1}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{L}{\sqrt{1-\beta^2}},$$

od koder dobimo

$$L=L_o\sqrt{1-\beta^2}.$$

Ker je koren v izrazu manjši od 1, postajenačelnik torej nameri manj kot sprevodnik.  Zanj je  sprevodnikova palica krajša, do skrčitve pride samo v smeri gibanja. Hitro gibajoča se krogla ima torej obliko elipsoida s krajšo polosjo v smeri gibanja.

 Podaljšanje (Dilatacija )časa

Drugič pa naj se skupaj s sprevodnikom v točki x’ pelje ura, ki sprevodniku meri časovni interval

$$t_o=t_2^\prime-t_1^\prime.$$

Podobno kot prej bomo časovni interval, ki ga ura meri v sistemu, glede na katerrega miruje, imenovali lastni čas.  Sprevodnik torej izmeri lastni čas te ure. A na uro gleda tudi postajenačelnik, ki izmeri časovni interval t takole

$$t=t_2-t_1=\frac{(v/c^2)x^\prime+t_2^\prime-(v/c^2)x^\prime-t_1^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{t_2^\prime-t_1^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$

Za postajenačelnika je torej ta časovni interval daljši od tistega, ki ga je nameril sprevodnik, namreč

$$t=\frac{t_o}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$


Najhitreje torej teče lastni čas, vsi ostali inecialni sistemi pa namerijo daljše časovne intervale. 

Ravno podaljšanje časa je eksperimentalno največkrat preverjano. Eden od načinov je preverjanje z dovolj (na milijadinko sekunde) natančno uro, ki jo pošljejo v kovčku na potovanje z rednimi letalskimi linijami. Ko se vrne s potovanja, kaže manj kot njena predhodno umerjena dvojčica, ki je pred tem ostala na zemlji.

Drug način je podaljšanje razpadnega časa kozmičnih delcev, ki zaradi velike hitrosti puščajo  v detektorjih daljše sledi, kot bi jih sicer.

Tako skrčenje dolžin kot podaljšanje časa upoštevajo naprave  za natančno pozicioniranje GPS.

PTR v srednji šoli(5)

Zadnjič smo izpeljali  transformacije, ki ohranjajo razlike kvadratov  koordinat točk.  Uporabimo jih tokrat  za preračunavanje meritev med postajenačelnikom in sprevodnikom na drvečem vlaku. Spomnimo se, proti postajenačelniku vozi vzdolž njegove x-osi vlak s hitrostjo v , ki ni majhna v primeri s hitrostjo svetobe c.  Postajenačelnik meri čas t in koordinato x, njemu torej pripada urejen par (ct,x). Sprevodnik pa meri čas t’ in koordinato x’ vzdolž smeri gibanja, tako da mu pripada urejen par (ct’,x’).  Čase v pomnožimo  s konstanto c zato, da imata  komponenti  v urejenem paru enako enoto. Zadnjič smo videli, da se v vseh opazovalnih sistemih ohranja izraz:

$$x^2-ct^2=x^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}.$$

Uporabimo torej nove transformacije. Dobimo

$$ct^\prime=\frac{ct-\beta x}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x^\prime=\frac{-\beta ct+x}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$

  Parameter [math]\beta[/math] je odvisen od hitrosti vlaka. Opazujmo točko,  ki glede na sprevodnika miruje, torej x’=0. Iz zadnje zveze dobimo

$$x^\prime=0\Rightarrow x=\beta ct\Rightarrow \beta c=v.$$

$\beta$ je torej

$$\beta=\frac{v}{c}.$$

Upoštevajmo to v zgornjih zvezah, prvo tudi delimo z $c$, pa dobimo Lorentzovi formuli

$$t^\prime=\frac{t-(v/c^2)x}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x^\prime=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\beta^2}}$$

ter njuna obrata

$$t=\frac{t^\prime+(v/c^2)x^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x=\frac{x^\prime+vt^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$

PTR v srednji šoli(4)

NOVE TRANSFORMACIJE

Iščemo torej linearno transformacijo, ki prevede točko $(u,v)$ v točko $(u^\prime,v^\prime)$ tako, da  velja zveza
$$u^{\prime 2}-v^{\prime 2}=u^2-v^2.$$
Ker je transformacija linearna,  jo iščemo v obliki
$$u=Au^\prime +Bv^\prime \qquad v=Cu^\prime +Dv^\prime ,$$
pri čemer so A, B,C in D konstante, ki jih je treba določiti. Vstavimo zato te transformacije v zgornjo enačbo, pa dobimo
$$(Au^\prime+Bv^\prime )^2-(Cu^\prime+Dv^\prime )^2=u^{\prime2}-v^{\prime 2}.$$
Po kvadriranju in primerjanju koeficientov dobimo naslednje enačbe
$$A^2-C^2=1,\quad AB=CD, \quad C^2-D^2=-1.$$
Imamo torej tri enačbe in štriri neznanke. Zato uvedemo parameter
$$\beta=\frac{C}{A}=\frac{B}{D}$$
ter z njim izrazimo vse koeficiente. Dobimo
$$A=D=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad B=C=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}$$
Iskane transformacije so torej
$$u=\frac{u^\prime+\beta v^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad v=\frac{\beta u^\prime+v^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},$$
obratne transformacije pa
$$u^\prime=\frac{u-\beta v}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad v^\prime=\frac{-\beta u+v}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$
Naslednjič pa jim bomo dali fizikalni pomen.

PTR v srednji šoli(3)

Oba inercialna sistema so povezovale Galilejeve transformacije, a te smo v zadnjem poglavju razglasi za neveljavne. Potrebujemo torej nove transformacije.

Vprašamo se, ali je kaj, kar opišeta enako oba,  sprevodnik in postajenačelnik.  Odgovor nam spet prinese naslednji miselni poskus:

Mislimo si, da se vlak s sprevodnikom približuje postajenačelniku. Koordinatna sistema obeh imata vzporedne osi, vlak in z njim gibajoći se koordinatni sistem pa se giblje  v smeri  postajenačelnikove x-osi.  V trenutku, so oba koordinatna sistema pokrijeta, na vlaku zasveti okrogla luč..  Sprevodnik  opiše svetlobo kot krogelni val, ki se širi s hitrostjo svetlobe c na vse strani, torej

\[x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=c^2t^{\prime 2}.\].

Postajenačelnik pa val opiše podobno, a v svojih koordinatah

\[x^{2}+y^{2}+z^{ 2}=c^2t^{2}.\]

Vidimo torej, da sta opisa enaka. Velja torej

\[x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}=x^{2}+y^{2}+z^{ 2}-c^2t^{2}.\].

Ker se vlak giblje prečno na koordinate \[y,y^\prime, z, z^\prime,\] je

\[y=y^\prime,\quad z=z^\prime,\]

pa se zgornja zveza še poenostavi v

\[x^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}=x^{2}-c^2t^{2}.\].

Iščemo torej linearno transformacijo, ki bo zadostila zgornji enačbi.

PTR v srednji šoli (2)

Morda ste uganili, kaj je bilo treba prečrtati – Galilejeve transformacije. Na prvi pogled je nenavadno, da ne veljajo enačbe, ki so se do takrat izkazale za dobro preizkušene. A vendar imamo sedaj razmere, ki so posebne – zelo velike hitrosti. Hitrosti, ki niso majhne v primeri s hitrostjo svetlobe.  Galilejeve transformacije dobro veljajo pri majhnih hitrostih, pri ekstremnih hitrostih pa odpovejo.

Če Galilejeve transformacije ne veljajo več, potem čas ni več absoluten, temveč relativen – odvisen od opazovalnega sistema.  To pa ima v primerjavi z dosedašnjim gledanjem na svet nenavadne posledice. Oglejmo si eno od njih v naslednjem (miselnem) poskusu:

SOČASNOST JE RELATIVNA

Imejmo vlak, ki je zelo dolg in se zelo hitro giblje. Njegova dolžina naj bo 300.000km, njegova hitrost pa  4c/5. Vlak ima dvoje vrat, ki se odpirata takrat, ko žarek svetlobe iz žarnice na sredini vlaka posveti na fotocelico na vratih. Sprevodnik stoji na sredini vlaka in s stikalom odpira vrata. Ker vrata  glede na sprevodnika mirujejo, le-ta opiše odpiranje vrat takole: Od trenutka, ko posveti žarnica potuje svetloba proti zadnjim vratom in po

\[t_1=\frac{150000km\cdot s}{300000km}=0,5s\]

se le-ta odprejo. Ravno tako ponovi račun za odpiranje prvih vrat

\[t_2=\frac{150000km\cdot s}{300000km}=0,5s.\]

Oba časa sta enaka, za sprevodnika se oboja vrata torej odprejo sočasno.

Dogajanje na drvečem vlaku pa opazuje tudi postajenačelnik, ki vidi dogajanje  nekoliko drugače : Medtem, ko potuje svetloba s hitrostjo c proti zadnjim vratom, se ji le-ta približujejo s hitrostjo 4c/5. Zato se zadnja vrata odprejo po času

\[t_1=\frac{150000km\cdot s}{300000km+240000km}=\frac{5}{18}s,\]

prva vrata pa se žarku odmikajo, zato je

\[t_2=\frac{150000km\cdot s}{300000km-240000km}=2,5s.\]

Postajenačelniku se torej vrata ne odprejo istočasno, zadnja vrata se odprejo prej kot prva. Dogodka, ki sta sočasna v enem opazovalnem sistemu, nista sočasna v drugem. Pravimo, da je sočasnost dogodkov relativna, torej odvisna od opazovalnega sistema.

PTR v srednji šoli

Posebna teorija relativnosti v srednji šoli -uvod

Imel sem srečo, sam sem to teorijo v šolskem letu 1970/71 kot dijak  Gimnazije Črnomelj slišal kar dvakrat. Matematik Marjan Skrbinšek jo je povzel po učbeniku Franceta Križaniča Atirmetika, algebra in analiza, za moj okus najboljšem slovenskem učbeniku matematike do sedaj. Fizik Jože Pavlišič pa je pri fizikalnem krožku ubral bolj fizikalni pristop, ki je temeljil na takrat pravkar izšli Sigmini knjižici Janeza Strnada Relativnost.  Skoraj dve desetletji kasneje sem imel to poglavje priliko spet slišati pri Ivanu Kuščerju v okviru predmeta Osnove klasične fizike na tretji stopnji pedagoške fizike, Janez Strand pa ji je namenil tudi eno od poglavij v Učbeniku Fizika za družboslovce, ki se je uporabljal v okviru usmerjenega izobraževanja. Kasneje je kot celota iz učbenikov izginila, v fiziki se uporablja le še pri obravnavi energije delcev.

STR se mi zdi pomembna, saj dijaku odpre nove poglede na svet okrog nas in ponuja odgovor ena nekatera temeljna vprašanja.. Zato jo poskušam prenesti dijakom v obliki, o kateri nameravam pisati v nadaljevanju.

Temelji fizike na začetku 20. stoletja

Klasična fizika je v tistem času temeljila na naslednjih načelih:

  1. Prostor je izotropen in homogen. Homogenost prostora pomeni, da je izid fizikalnega poskusa neodvisen od tega, kje ga izvajamo, izotropnost pa, da je za izid vseeno, kako je merilna priprava zasukana.
  2. Čas je homogen. Izid fizikalnega poskusa je torej neodvisen od tega, kdaj poskus izvajajmo. Fizikalni poskusi so torej ponovljivi in v enakih okoliščinah pričakujemo enak rezultat.
  3. Vsi inercialni sistemi so enakovredni.  Ker fizik meri, potrebuje koordinatni sistem in uro. Tak sistem je lahko glede na okolico mirujoč, lahko pa se giblje glede na njo s hitrostjo [math]v_o[/math] , npr. ladja glede na obalo. Sistem je inercialen, če se glede na okolico giblje nepospešeno, torej premo enakomerno.  To načelo torej pove, da so izidi poskusov v vseh nepospešenih sistemih (npr. na kopnem ali na enakomerno ploveči ladji) enaki.
  4.   Oba inercialna sistema vežejo Galilejeve transformacije.Te transformacije povezujejo  meritve, ki jih je opravil opazovalev v mirujočem se sistemu, z meritvami tistega  v gibajočem se sistemu.  Ivan Kuščer je to ponazoril kar z vlakom, ki pelje mimo postajenačelnika s hitrostjo  $v_o$. Postajenačelnik in sprevodnik na vlaku merita  koordinato  in čas potnika, ki se iz zadnjega vagona giblje proti strojevodji . Postajenačelnik nameri  x in t, sprevodnik pa x’ in t’. Galilejeve transformacije pravijo

    \[t=t^\prime,\quad x=x^\prime+v_0t^\prime\]

    Oba opazovalca torej merita isti čas (ali čas je absoluten),  Postajenačelnik izmeri hitrost potnika v, sprevodnik pa v’. Zveza med obema hitrostima sledi iz Galilejevih transformacij takole

    \[ v=\frac{x}{t}=\frac{x^\prime+v_ot^\prime}{t^\prime}=v^\prime+v_o.\]

    Primer: Če vozi vlak s hitrostjo 20km/h, potnik pa s giblje proti strojevodji s hitrostjo 5km/h glede na vlak, bo postajenačelnik nameril za potnikovo hitrost 25km/h.

  5. Hitrost svetlobe je v vseh inercialnih sistemih enaka. Z drugimi besedami, hitrosti se ne da pospeševati ne zavirati. To načelo o svetlobni hitrosti je rezultat Michelsonon-Morleyevega poskusa v 80.letih 19. stoletja.

Njun poskus je imel namen izmeriti hitrost Zemlje pri svojem gibanju okrog Sonca glede na eter – namišljeno snov, ki zapolnjuje vesolje in so jo takratni fiziki potrebovali kot sredstvo, po katerem se širi elektromagnetno valovanje, torej tudi svetloba.  Primerjala sta hitrost  svetlobe iz smeri, v katero se je Zemlja gibala, in hitrost svetlobe iz smeri pravokotno na gibanje.  Meritev, ki bila izredno natančna, sta ponavljala skoraj celo desetletje, rezultat pa je bil vsakič 0. Obe hitrosti sta bili torej enaki. Njun poskus je pomenil, da ima svetloba v gibajočem se sistemu enako hitrost kot svetloba v mirujočem (pravokotnem na gibanje) sistemu, posledično pa tudi konec teorije o etru.

Očitno so načela med seboj v protislovju, kar nam pokaže naslednji (namišljen) poskus:

Predstavljajmo si, da sprevodnik  zajaha svetlobni žarek in se na njem pelje mimo postajenačelnika s hitrostjo c. V roki pa drži baterijo in z njo posveti   v smeri hitrosti vožnje. Kolikšna je hitrost svetlobe iz baterije za postajenačelnika?

Odgovor nam da seštevanje hitrosti po Galilejevih transformacijah

\[ v=v^\prime+v_o=c+c=2c.\]

Rezultat  pa je očitno v nasprotju z načelom o svetlobni hitrosti, saj hitrost ne bi smela presegati c.

Kljub temu, da bilo  nekaj poskusov razrešitve tega protislovja pred A. Einsteinom, je moral priti prav on, da je eno od načel prečrtal. Če bi bili na njegov mestu, katerega bi prečrtali vi?