PTR v srednji šoli (6)

Zadnjič smo izpeljali Lorenzove transformacije, sedaj pa si oglejmo nekaj  zanimiviih posledic. Prva je skrčenje dolžine, druga pa podaljšanje časa.

Skrčenje (kontrakcija) dolžine

Imejmo v sprevodnikovem opazovalnem sistemu palico, položeno v smeri osi x’. Definirajmo najprej lastno dolžino [math]L_0[/math] palice kot dolžino palice v sistemu, glede na katerega le-ta miruje. Ko torej sprevodnik izmeri njeno dolžino, dobi

[math]L_0=x_2^\prime-x_1^\prime[/math]

njeno lastno dolžino [math]L_0.[/math]  Ko pa isto palico meri postajenačelnik, (obe krajišči izmeri v istem trenutku, torej  [math]t_1=t_2[/math]),  dobi

[math]L=x_2-x_1.[/math]

Velja

[math]L_0=x_2^\prime-x_1^\prime=\frac{x_2-x_1}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{L}{\sqrt{1-\beta^2}},[/math],

od koder dobimo

[math]L=L_o\sqrt{1-\beta^2}.[/math]

Ker je koren v izrazu manjši od 1, postajenačelnik torej nameri manj kot sprevodnik.  Zanj je  sprevodnikova palica krajša, do skrčitve pride samo v smeri gibanja. Hitro gibajoča se krogla ima torej obliko elipsoida s krajšo polosjo v smeri gibanja.

 Podaljšanje (Dilatacija )časa

Drugič pa naj se skupaj s sprevodnikom v točki x’ pelje ura, ki sprevodniku meri časovni interval

[math]t_o=t_2^\prime-t_1^\prime.[/math]

Podobno kot prej bomo časovni interval, ki ga ura meri v sistemu, glede na katerrega miruje, imenovali lastni čas.  Sprevodnik torej izmeri lastni čas te ure. A na uro gleda tudi postajenačelnik, ki izmeri časovni interval t takole

[math]t=t_2-t_1=\frac{(v/c^2)x^\prime+t_2^\prime-(v/c^2)x^\prime-t_1^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{t_2^\prime-t_1^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}}.[/math]

Za postajenačelnika je torej ta časovni interval daljši od tistega, ki g JE Nmeril sprevodnik, namreč

[math]t=\frac{t_o}{\sqrt{1-\beta^2}}.[/math]


Najhitreje torej teče lastni čas, vsi ostali inecialni sistemi pa namerijo daljše časovne intervale. 

Ravno podaljšanje časa je eksperimentalno največkrat preverjano. Eden od načinov je preverjanje z dovolj (na milijadinko sekunde) natančno uro, ki jo pošljejo v kovčku na potovanje z rednimi letalskimi linijami. Ko se vrne s potovanja, kaže manj kot njena predhodno umerjena dvojčica, ki je pred tem ostala na zemlji.

Drug način je podaljšanje razpadnega časa kozmičnih delcev, ki zaradi velike hitrosti puščajo  v detektorjih daljše sledi, kot bi jih sicer.

Tako skrčenje dolžin kot podaljšanje časa upoštevajo naprave  za natančno pozicioniranje GPS.

PTR v srednji šoli(5)

Zadnjič smo izpeljali  transformacije, ki ohranjajo razlike kvadratov  koordinat točk.  Uporabimo jih tokrat  za preračunavanje meritev med postajenačelnikom in sprevodnikom na drvečem vlaku. Spomnimo se, proti postajenačelniku vozi vzdolž njegove x-osi vlak s hitrostjo v , ki ni majhna v primeri s hitrostjo svetobe c.  Postajenačelnik meri čas t in koordinato x, njemu torej pripada urejen par (ct,x). Sprevodnik pa meri čas t’ in koordinato x’ vzdolž smeri gibanja, tako da mu pripada urejen par (ct’,x’).  Čase v pomnožimo  s konstanto c zato, da imata  komponenti  v urejenem paru enako enoto. Zadnjič smo videli, da se v vseh opazovalnih sistemih ohranja izraz:

$$x^2-ct^2=x^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}.$$

Uporabimo torej nove transformacije. Dobimo

[math]ct^\prime=\frac{ct-\beta x}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x^\prime=\frac{-\beta ct+x}{\sqrt{1-\beta^2}}.[/math]

  Parameter [math]\beta[/math] je odvisen od hitrosti vlaka. Opazujmo točko,  ki glede na sprevodnika miruje, torej x’=0. Iz zadnje zveze dobimo

[math]x^\prime=0\Rightarrow x=\beta ct\Rightarrow \beta c=v.[/math]

[math]\beta[/math] je torej

[math]\beta=\frac{v}{c}.[/math]

Upoštevajmo to v zgornjih zvezah, prvo tudi delimo z c, pa dobimo Lorentzovi formuli

[math]t^\prime=\frac{t-(v/c^2)x}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x^\prime=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\beta^2}}[/math]

ter njuna obrata

[math]t=\frac{t^\prime+(v/c^2)x^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x=\frac{x^\prime+vt^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}}.[/math]