PTR v srednji šoli(12)

Zadnjič smo izpeljali izraz kinetično energijo v PTR, dobili smo

W_k=m_oc^2(\gamma-1).

Pri majhnih hitrostih mora ta formula preiti v običajno formulo za kinetično energijo, katero poznamo že iz osnovne šole. Poglejmo, kako.

W_k=m_oc^2(\gamma-1)=m_oc^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)=m_oc^2\left(\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}-1\right)

Koren razvijemo v binomsko vrsto. Kako? Spomnimo se na binomski izrek, ki pove, kako izračunamo potenco dvočlenika

(a+b)^n={n \choose 0} a^nb^0+{n \choose 1} a^{n-1}b^1+{n \choose 2} a^{n-2}b^2+\dots {n \choose n} a^ob^n

V prejšnjih primerih je bil n naravno število in izraz na desni veččlenik. Tokrat pa imamo v eksponentu -1/2 , zato bo členov neskončno – binomska vrsta. A potrebujemo le nekaj členov. Izračunajmo nekaj začetnih binomskih simbolov (spomnimo se tudi na njihove lastnosti)

{-\frac{1}{2} \choose 0}=1,~~{-\frac{1}{2} \choose 1}=-\frac{1}{2},~~{-\frac{1}{2} \choose 2}=\frac{-\frac{1}{2}\left( -\frac{3}{2}\right)}{1\cdot 2}=\frac{3}{8},\dots

Sestavimo torej v zgornjem izrazu  vrsto

W_k=m_oc^2(\gamma-1)=m_oc^2\left(1+\frac{1v^2}{2c^2}+\frac{3v^4}{8c^4}+\dots -1\right)

Matematik je svoje delo opravil, sedaj pa nastopi fizik. Ker je

v<<c,

lahko v napisani vrsti vse člene od vključno tretjega naprej zanemarimo, saj so premajhni, da bi kaj prispevali.  Prvi in zadnji člen v oklepaju se še odštejeta, tako da ostane samo drugi. Dobimo torej

W_k=\frac{m_ov^2}{2},

kar smo tudi pričakovali.

konec

PTR v srednji šoli (11)

Poglejmo še, kako je v PTR z delom in energijo. Najprej ugotovimo, da 2. Newtonov zakon v obliki

\vec{F}=m\vec{a}

ne velja,  saj je masa telesa odvisna  od hitrostji. Zapisati ga moramo  takole

\vec{F}=\frac{d\vec{G}}{dt},

pri čemer je

\vec{G}=m\vec{v}

gibalna količina telesa.  Delo, ki ga opravi ta sila, je torej enako

A=\int_{x_1}^{x_2}{F(x)dx}=\int_{x_1}^{x_2}{\frac{dG}{dt}dx}=\int_{G_1}^{G_2}{vdG}

 Pozabavajmo se  najprej z nedeločeni integralom – integrandu poiščimo primitivno funkcijo. Integrala se najprej lotimo “per partes”

\int{vdG}=vG-\int{Gdv}=vG-m_o\int{\frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}},

nato pa uvedemo novo spremenljivko

1-\frac{v^2}{c^2}=u.

Dobimo, da je zadnji integral enak

m_o\int{\frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}=-m_oc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},

kar skupaj da iskano funkcijo

\int{vdG}=\frac{m_ov^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+m_oc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{m_o(v^2+c^2-v^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}})}=mc^2.

Delo je torej enako spremembi zgornje funkcije

A=\int_{G_1}^{G_2}{vdG}=(m_2-m_1)c^2.

Iz fizike pa poznamo izrek o mehanski energiji: Delo je enako spremembi mehanske  energije telesa.  Zato  prepoznamo v zgornji funkciji energijo telesa:

W=mc^2~~~~(1)

Telo, ki miruje,  ima torej mirovno ali lastno  energijo

W_o=m_oc^2~~~~(2)

Enačba (1) je najbrž najslavnejša fizikalna enačba. O njej poje celo pesem  J. Menarta:

Oda od, balada balad, E=mc². 

Enačba (2) pa daje odgovor na pomembno vprašanje: Kaj je masa? V obrazcu vidimo, da je masa energija, deljena s kvadratom konstante, torej (zelo zgoščena) energija.

Polno energijo delca W  definiramo kot vsoto njegove lastne in kinetične energije, torej

W=W_o+W_k.

Od tod dobimo za kinetično energijo naslednji izraz

W_k=W-W_o=mc^2-m_oc^2=m_oc^2(\gamma-1).

Pri tem je seveda \gamma relativistični faktor, omenjen v prejšnjih poglavjih.