Arhiv Značk: mirovna masa

PTR v srednji šoli(12)

Objavljeno ,

Nazaj

Zadnjič smo izpeljali izraz kinetično energijo v PTR, dobili smo

$$W_k=m_oc^2(\gamma-1).$$

Pri majhnih hitrostih mora ta formula preiti v običajno formulo za kinetično energijo, katero poznamo že iz osnovne šole. Poglejmo, kako.

$$W_k=m_oc^2(\gamma-1)=m_oc^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)=m_oc^2\left(\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}-1\right)$$

Koren razvijemo v binomsko vrsto. Kako? Spomnimo se na binomski izrek, ki pove, kako izračunamo potenco dvočlenika

$$(a+b)^n={n \choose 0} a^nb^0+{n \choose 1} a^{n-1}b^1+{n \choose 2} a^{n-2}b^2+\dots {n \choose n} a^ob^n$$

V prejšnjih primerih je bil $n$ naravno število in izraz na desni veččlenik. Tokrat pa imamo v eksponentu $-1/2$ , zato bo členov neskončno – binomska vrsta. A potrebujemo le nekaj členov. Izračunajmo nekaj začetnih binomskih simbolov (spomnimo se tudi na njihove lastnosti)

$${-\frac{1}{2} \choose 0}=1,~~{-\frac{1}{2} \choose 1}=-\frac{1}{2},~~{-\frac{1}{2} \choose 2}=\frac{-\frac{1}{2}\left( -\frac{3}{2}\right)}{1\cdot 2}=\frac{3}{8},\dots$$

Sestavimo torej v zgornjem izrazu  vrsto

$$W_k=m_oc^2(\gamma-1)=m_oc^2\left(1+\frac{1v^2}{2c^2}+\frac{3v^4}{8c^4}+\dots -1\right)$$

Matematik je svoje delo opravil, sedaj pa nastopi fizik. Ker je

$$v<<c,$$

lahko v napisani vrsti vse člene od vključno tretjega naprej zanemarimo, saj so premajhni, da bi kaj bistvenega prispevali.  Prvi in zadnji člen v oklepaju se še odštejeta, tako da ostane samo drugi. Dobimo torej

$$W_k=\frac{m_ov^2}{2},$$

kar smo tudi pričakovali.

konec

PTR v srednji šoli (11)

Objavljeno ,

Poglejmo še, kako je v PTR z delom in energijo. Najprej ugotovimo, da 2. Newtonov zakon v obliki

$$\vec{F}=m\vec{a}$$

ne velja,  saj  masa telesa ni stalna, temveč odvisna  od hitrosti. Zapisati ga moramo  takole

$$\vec{F}=\frac{d\vec{G}}{dt},$$

pri čemer je

$$\vec{G}=m\vec{v}$$

gibalna količina telesa.  Delo, ki ga opravi ta sila, je torej enako

$$A=\int_{x_1}^{x_2}{F(x)dx}=\int_{x_1}^{x_2}{\frac{dG}{dt}dx}=\int_{G_1}^{G_2}{vdG}$$

 Pozabavajmo se  najprej z nedeločeni integralom – integrandu poiščimo primitivno funkcijo. Integrala se najprej lotimo “per partes”

$$\int{vdG}=vG-\int{Gdv}=vG-m_o\int{\frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}},$$

nato pa uvedemo novo spremenljivko

$$1-\frac{v^2}{c^2}=u.$$

Dobimo, da je zadnji integral enak

$$m_o\int{\frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}=-m_oc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},$$

kar skupaj da iskano funkcijo

$$\int{vdG}=\frac{m_ov^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+m_oc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{m_o(v^2+c^2-v^2)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}})}=mc^2.$$

Delo je torej enako spremembi zgornje funkcije

$$A=\int_{G_1}^{G_2}{vdG}=(m_2-m_1)c^2.$$

Iz fizike pa poznamo izrek o mehanski energiji: Delo je enako spremembi mehanske  energije telesa.  Zato  prepoznamo v zgornji funkciji energijo telesa:

$$W=mc^2~~~~(1)$$

Telo, ki miruje,  ima torej mirovno ali lastno  energijo

$$W_o=m_oc^2~~~~(2)$$

Enačba (1) je najbrž najslavnejša fizikalna enačba. O njej poje celo pesem  J. Menarta:

Oda od, balada balad, E=mc².

Enačba (2) pa daje odgovor na pomembno vprašanje: Kaj je masa? V obrazcu vidimo, da je masa energija, deljena s kvadratom konstante, torej (zelo zgoščena) energija.

Polno energijo delca W  definiramo kot vsoto njegove lastne in kinetične energije, torej

$$W=W_o+W_k.$$

Od tod dobimo za kinetično energijo naslednji izraz

$$W_k=W-W_o=mc^2-m_oc^2=m_oc^2(\gamma-1).$$

Pri tem je seveda $\gamma$ relativistični faktor, omenjen v prejšnjih poglavjih.

Naprej

PTR v srednji šoli(9)

Objavljeno ,

Lorenzove transformacije lahko zapišemo v kompaktnejši matrični obliki:

\[
\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\end{bmatrix}
\]

V njej nastopa Lorenzova matrika

\[
\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}&\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}\\\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}&\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
\end{bmatrix}\quad\quad\quad(1)
\]

Prvo koordinato v levem vektorju enačbe (1) dobimo tako, da skalarno pomnožimo 1. vrstico matrike z desnim vektorjem in podobno tudi 2. koordinato. Pred matriko je relativistični faktor.

Opazimo, da se s svetlobno hitrostjo c pomnoženi čas v zapisu obnaša tako kot koordinata x. Če pišemo še koordinati y in z, ki sta prečni na smer gibanja, dobimo

\[
\begin{bmatrix}
ct\\x\\y\\z
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\gamma& \gamma\beta&0&0\\\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
ct^\prime\\x^\prime\\y^\prime\\z^\prime\end{bmatrix}
\]

Seveda tudi tu velja, da dobimo i-to komponento levega vektorja tako, da skalarno pomnožimo i-to vrstico matrike z desnim vektorjem. Še obratna Lorenzova transformacija:

\[
\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\\y^\prime\\z^\prime
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\gamma& -\gamma\beta&0&0\\-\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z
\end{bmatrix}
\]

Relacije nam ponujajo odgovor na vprašanje, kaj je čas. Čas je pač ena od koordinat štirirazsežnega prostora-časa. Vektorju

\[
\begin{bmatrix}
ct\\x\\y\\z
\end{bmatrix}\]

pravimo dogodek  v prostoru- času. Lorentzove transformacije nam pomagajo preračunavati dogodke iz enega v drug inercialni sistem v prostoru-času.

PTR v srednji šoli(8)

Objavljeno ,

V obrazcih posebne teorije relativnosti se ves čas pojavlja relativistični faktor

$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},$$

pri čemer je

$$\beta=\frac{v}{c}$$

razmerje med hitrostjo telesa in svetlobno hitrostjo.  Odvisnost relativističnega faktorja od tega razmerja kaže naslednja animacija

 

Opazimo, da je pri običajnih hitrostih ta faktor blizu 1, zato relativističnih pojavov ne opazimo in lahko uporabljamo tudi Galilejeve transformacije. Faktor je treba upoštevati šele, ko imamo opravka s hitrostmi, ki niso majhne v primeri s hitrostjo svetlobe, pa tudi, ko potrebujemo izjemno natančnost meritev.

PTR v srednji šoli (7)

Objavljeno ,

novo seštevanje hitrosti

Ker pri velikih hitrostih ne veljajo Galilejeve transformacije, tudi staro seštevanje hitrosti ne velja več.  Izpeljimo  torej pravi izraz.

Naj se v sprevodnikovem sistemu premika palica proti začetku vlaka(spomnimo se, ta vozi mimo postajenačelnika s hitrostjo v) tako, da sprevodnik zanjo nameri hitrost v’.  Postajenačelnik pa uporabi Lorentzove transformacije in dobi

[math]v_p=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{(\Delta x^\prime+v\Delta t^\prime)\sqrt{1-\beta^2}}{\sqrt{1-\beta^2}(\Delta t^\prime+(v/c^2)\Delta x^\prime)}[/math]

Okrajšamo korene in delimo števec in imenovalec z [math]\Delta t^\prime,[/math]  pa dobimo

[math]v_p=\frac{v+v^\prime}{1+\frac{v\cdot v^\prime}{c^2}}.\quad \quad \quad (1)[/math]

 V računu smo upoštevali, da je

[math]v^\prime=\frac{\Delta x^\prime}{\Delta t^\prime}[/math]

hitrost, ki jo izmeri sprevodnik. Pa smo izpeljali novi obrazec za seštevanje hitrosti. Njegova značilnost je, da postajenačelnik ne more nameriti več kot c celo, če se vlak glede nanj giblje s hitrostjo c in se palica glede na vlak giblje s hitrostjo c.

Torej: če se vozite s hitrostjo c in svetite  z baterijo v smeri gibanja, ima svetloba baterije glede na mirujočega opazovalca hitrost c. To se seveda se ne sklada z Galilejevim seštevanjem hitrosti, ujema pa se z načelom o svetlobni hitrosti.

 

 

PTR v srednji šoli (6)

Objavljeno ,

Zadnjič smo izpeljali Lorenzove transformacije, sedaj pa si oglejmo nekaj  zanimiviih posledic. Prva je skrčenje dolžine, druga pa podaljšanje časa.

Skrčenje (kontrakcija) dolžine

Imejmo v sprevodnikovem opazovalnem sistemu palico, položeno v smeri osi $x’$. Definirajmo najprej lastno dolžino $L_0$ palice kot dolžino palice v sistemu, glede na katerega le-ta miruje. Ko torej sprevodnik izmeri njeno dolžino, dobi

$$L_0=x_2^\prime-x_1^\prime$$

njeno lastno dolžino $L_0.$ Ko pa isto palico meri postajenačelnik, (obe krajišči izmeri v istem trenutku, torej  $t_1=t_2$),  dobi

$$L=x_2-x_1.$$

Velja

$$L_0=x_2^\prime-x_1^\prime=\frac{x_2-x_1}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{L}{\sqrt{1-\beta^2}},$$

od koder dobimo

$$L=L_o\sqrt{1-\beta^2}.$$

Ker je koren v izrazu manjši od 1, postajenačelnik torej nameri manj kot sprevodnik.  Zanj je  sprevodnikova palica krajša, do skrčitve pride samo v smeri gibanja. Hitro gibajoča se krogla ima torej obliko elipsoida s krajšo polosjo v smeri gibanja.

 Podaljšanje (Dilatacija )časa

Drugič pa naj se skupaj s sprevodnikom v točki x’ pelje ura, ki sprevodniku meri časovni interval

$$t_o=t_2^\prime-t_1^\prime.$$

Podobno kot prej bomo časovni interval, ki ga ura meri v sistemu, glede na katerrega miruje, imenovali lastni čas.  Sprevodnik torej izmeri lastni čas te ure. A na uro gleda tudi postajenačelnik, ki izmeri časovni interval t takole

$$t=t_2-t_1=\frac{(v/c^2)x^\prime+t_2^\prime-(v/c^2)x^\prime-t_1^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{t_2^\prime-t_1^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$

Za postajenačelnika je torej ta časovni interval daljši od tistega, ki ga je nameril sprevodnik, namreč

$$t=\frac{t_o}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$


Najhitreje torej teče lastni čas, vsi ostali inecialni sistemi pa namerijo daljše časovne intervale. 

Ravno podaljšanje časa je eksperimentalno največkrat preverjano. Eden od načinov je preverjanje z dovolj (na milijadinko sekunde) natančno uro, ki jo pošljejo v kovčku na potovanje z rednimi letalskimi linijami. Ko se vrne s potovanja, kaže manj kot njena predhodno umerjena dvojčica, ki je pred tem ostala na zemlji.

Drug način je podaljšanje razpadnega časa kozmičnih delcev, ki zaradi velike hitrosti puščajo  v detektorjih daljše sledi, kot bi jih sicer.

Tako skrčenje dolžin kot podaljšanje časa upoštevajo naprave  za natančno pozicioniranje GPS.

PTR v srednji šoli(5)

Objavljeno ,

Zadnjič smo izpeljali  transformacije, ki ohranjajo razlike kvadratov  koordinat točk.  Uporabimo jih tokrat  za preračunavanje meritev med postajenačelnikom in sprevodnikom na drvečem vlaku. Spomnimo se, proti postajenačelniku vozi vzdolž njegove x-osi vlak s hitrostjo v , ki ni majhna v primeri s hitrostjo svetobe c.  Postajenačelnik meri čas t in koordinato x, njemu torej pripada urejen par (ct,x). Sprevodnik pa meri čas t’ in koordinato x’ vzdolž smeri gibanja, tako da mu pripada urejen par (ct’,x’).  Čase v pomnožimo  s konstanto c zato, da imata  komponenti  v urejenem paru enako enoto. Zadnjič smo videli, da se v vseh opazovalnih sistemih ohranja izraz:

$$x^2-ct^2=x^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}.$$

Uporabimo torej nove transformacije. Dobimo

$$ct^\prime=\frac{ct-\beta x}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x^\prime=\frac{-\beta ct+x}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$

  Parameter [math]\beta[/math] je odvisen od hitrosti vlaka. Opazujmo točko,  ki glede na sprevodnika miruje, torej x’=0. Iz zadnje zveze dobimo

$$x^\prime=0\Rightarrow x=\beta ct\Rightarrow \beta c=v.$$

$\beta$ je torej

$$\beta=\frac{v}{c}.$$

Upoštevajmo to v zgornjih zvezah, prvo tudi delimo z $c$, pa dobimo Lorentzovi formuli

$$t^\prime=\frac{t-(v/c^2)x}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x^\prime=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\beta^2}}$$

ter njuna obrata

$$t=\frac{t^\prime+(v/c^2)x^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x=\frac{x^\prime+vt^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$