Arhiv Značk: matematika

PTR v srednji šoli(4)

Objavljeno ,

NOVE TRANSFORMACIJE

Iščemo torej linearno transformacijo, ki prevede točko (u,v) v točko (u^\prime,v^\prime) tako, da  velja zveza

    \[u^{\prime 2}-v^{\prime 2}=u^2-v^2.\]

Ker je transformacija linearna,  jo iščemo v obliki

    \[u=Au^\prime +Bv^\prime \qquad v=Cu^\prime +Dv^\prime ,\]

pri čemer so A, B,C in D konstante, ki jih je treba določiti. Vstavimo zato te transformacije v zgornjo enačbo, pa dobimo

    \[(Au^\prime+Bv^\prime )^2-(Cu^\prime+Dv^\prime )^2=u^{\prime2}-v^{\prime 2}.\]

Po kvadriranju in primerjanju koeficientov dobimo naslednje enačbe

    \[A^2-C^2=1,\quad AB=CD, \quad C^2-D^2=-1.\]

Imamo torej tri enačbe in štriri neznanke. Zato uvedemo parameter

    \[\beta=\frac{C}{A}=\frac{B}{D}\]

ter z njim izrazimo vse koeficiente. Dobimo

    \[A=D=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad B=C=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}\]

Iskane transformacije so torej

    \[u=\frac{u^\prime+\beta v^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad v=\frac{\beta u^\prime+v^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},\]

obratne transformacije pa

    \[u^\prime=\frac{u-\beta v}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad v^\prime=\frac{-\beta u+v}{\sqrt{1-\beta^2}}.\]

Naslednjič pa jim bomo dali fizikalni pomen.

PTR v srednji šoli(3)

Objavljeno ,

Oba inercialna sistema so povezovale Galilejeve transformacije, a te smo v zadnjem poglavju razglasi za neveljavne. Potrebujemo torej nove transformacije.

Vprašamo se, ali je kaj, kar opišeta enako oba,  sprevodnik in postajenačelnik.  Odgovor nam spet prinese naslednji miselni poskus:

Mislimo si, da se vlak s sprevodnikom približuje postajenačelniku. Koordinatna sistema obeh imata vzporedne osi, vlak in z njim gibajoći se koordinatni sistem pa se giblje  v smeri  postajenačelnikove x-osi.  V trenutku, so oba koordinatna sistema pokrijeta, na vlaku zasveti okrogla luč..  Sprevodnik  opiše svetlobo kot krogelni val, ki se širi s hitrostjo svetlobe c na vse strani, torej

    \[x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=c^2t^{\prime 2}.\]

.

Postajenačelnik pa val opiše podobno, a v svojih koordinatah

    \[x^{2}+y^{2}+z^{ 2}=c^2t^{2}.\]

Vidimo torej, da sta opisa enaka. Velja torej

    \[x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}=x^{2}+y^{2}+z^{ 2}-c^2t^{2}.\]

.

Ker se vlak giblje prečno na koordinate

    \[y,y^\prime, z, z^\prime,\]

je

    \[y=y^\prime,\quad z=z^\prime,\]

pa se zgornja zveza še poenostavi v

    \[x^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}=x^{2}-c^2t^{2}.\]

.

Iščemo torej linearno transformacijo, ki bo zadostila zgornji enačbi.

PTR v srednji šoli (2)

Objavljeno ,

Morda ste uganili, kaj je bilo treba prečrtati – Galilejeve transformacije. Na prvi pogled je nenavadno, da ne veljajo enačbe, ki so se do takrat izkazale za dobro preizkušene. A vendar imamo sedaj razmere, ki so posebne – zelo velike hitrosti. Hitrosti, ki niso majhne v primeri s hitrostjo svetlobe.  Galilejeve transformacije dobro veljajo pri majhnih hitrostih, pri ekstremnih hitrostih pa odpovejo.

Če Galilejeve transformacije ne veljajo več, potem čas ni več absoluten, temveč relativen – odvisen od opazovalnega sistema.  To pa ima v primerjavi z dosedašnjim gledanjem na svet nenavadne posledice. Oglejmo si eno od njih v naslednjem (miselnem) poskusu:

SOČASNOST JE RELATIVNA

Imejmo vlak, ki je zelo dolg in se zelo hitro giblje. Njegova dolžina naj bo 300.000km, njegova hitrost pa  4c/5. Vlak ima dvoje vrat, ki se odpirata takrat, ko žarek svetlobe iz žarnice na sredini vlaka posveti na fotocelico na vratih. Sprevodnik stoji na sredini vlaka in s stikalom odpira vrata. Ker vrata  glede na sprevodnika mirujejo, le-ta opiše odpiranje vrat takole: Od trenutka, ko posveti žarnica potuje svetloba proti zadnjim vratom in po

    \[t_1=\frac{150000km\cdot s}{300000km}=0,5s\]

se le-ta odprejo. Ravno tako ponovi račun za odpiranje prvih vrat

    \[t_2=\frac{150000km\cdot s}{300000km}=0,5s.\]

Oba časa sta enaka, za sprevodnika se oboja vrata torej odprejo sočasno.

Dogajanje na drvečem vlaku pa opazuje tudi postajenačelnik, ki vidi dogajanje  nekoliko drugače : Medtem, ko potuje svetloba s hitrostjo c proti zadnjim vratom, se ji le-ta približujejo s hitrostjo 4c/5. Zato se zadnja vrata odprejo po času

    \[t_1=\frac{150000km\cdot s}{300000km+240000km}=\frac{5}{18}s,\]

prva vrata pa se žarku odmikajo, zato je

    \[t_2=\frac{150000km\cdot s}{300000km-240000km}=2,5s.\]

Postajenačelniku se torej vrata ne odprejo istočasno, zadnja vrata se odprejo prej kot prva. Dogodka, ki sta sočasna v enem opazovalnem sistemu, nista sočasna v drugem. Pravimo, da je sočasnost dogodkov relativna, torej odvisna od opazovalnega sistema.