Arhiv Značk: matematika

Intervju z učiteljem matematike o domačih nalogah

Objavljeno ,

Med urejanjem  (beri brisanjem) dokumentov po disku sem med množico razne solate, ki jo mora izpolniti današnji učitelj, našel tudi tale intervju. Ne spomnim se več, kdo je avtor vprašanj (morda se bo pa javil?), a  celoten intervju bi utegnil biti dobra informacija, namenjena predvsem dijakom in staršem, morda pa celo učiteljem.  Zato sem sklenil, da ga (skoraj) nespremenjenega objavim v spletni obliki.

  1. Kakšno je vaše mnenje o domačih nalogah? Katere so prednosti/slabosti domačih nalog?

Vprašanje je nekam čudno formulirano. Domače naloge so zelo, če ne najbolj pomemben del procesa pridobivanja in  utrjevanja znanja učenca. Brez samostojnega dela doma je učenčevo znanje precej podobno znanju butalskega kovača.

  1. Kakšna je po vašem mnenju dobro zastavljena domača naloga? Kakšna mora biti njena vsebina, obseg in predvidena časovna obremenitev?

Nalog mora biti ravno dovolj, da učenec pri (skoraj) vsaki naslednji pridobi ali utrdi del novega znanja ali novo izkušnjo, njen namen pa naj ne bo dril.  Upošteva naj načela od lažjega  k težjemu, od enostavnega k sestavljenemu, itd. Ker gre za individualno telo, lahko učenec naloge, ki se mu zdijo prelahke,  tudi preskoči. Časovno naj traja do šolsko uro za pripravljenega učenca, zajema pa naj tudi pregled že rešenih primerov.

  1. Koliko časa vi porabite pri sestavi domače naloge za učence?

Ker naloge poznam, običajno zadnjih 5 minut šolske ure. Učence opozorim na vrstni red reševanja, pri nalogah, kjer se mi zdi to potrebno, jim dam tudi kak namig. Včasih pa naloga zahteva tudi daljšo razlago.

  1. Na kakšen način posredujete (v katerem delu ure, …) in preverjate domače naloge?  

Proti koncu ure povem številke nalog iz učbenika ali zbirke vaj, po jemanju nove snovi jih napotim tudi na rešene primere v učbeniku, svojo spletni učilnico ter učilnico E-um.  Preverjam na začetku ure. Tu lahko učenci tudi vprašajo za potek tistih nalog, ki jih niso uspeli rešiti ali je jim ne ujema rezultat.

  1. Kakšna je po vašem mnenju vloga staršev pri domačih nalogah?

Različna. Nekateri starši se zavedajo, da rezultate lahko prinese samo trdo delo in podpirajo tako učenca kot učitelja, ki naloge daje, ostali pa iščejo za svoje otroke bližnjice in kričijo, da je nalog preveč.

Grafika na spletni strani, Javascript in HTML5

Objavljeno ,

Matematik želi prikazati matematično grafiko na zaslonu, po možnosti na spletni strani in -še bolj zaželjeno – po možnosti dinamično. Na začetku je te prikaze sprogramiral sam. Nato pa je bila v preteklih desetletjih razvita vrsta orodij, od tistih za prikaz grafov do orodij za modeliranje, ki se uporabljajo namensko npr. v strojništvu, gradbeništvu.  Programiranje je domala izginilo, sploh pa iz šol.  Slovenske firme danes vneto iščejo programerje, v glavnem brezuspešno. Nekatere jih morajo celo uvažati iz vzhodnih držav.

Sam sem se z dijaki precej ukvarjal z računalniško grafiko, najprej v strem dobrem Turbo Pascalu v operacijskem sistemu DOS, pod Okni pa v nadaljevanju Pascala  – programu Delphi. Dijaki so znali napisati samostojne grafične aplikacije, pretežno simulacije fizikalnih pojavov, in ti programi so se preko orodja Activex dali zaganjati tudi preko spleta. Napredno za tiste čase ob koncu tisočletja, a tudi povezano s težavami. Brskalnik je moral imeti varnostne nastavitve znižane, Delphi pa je bil plačljiv program in je kar nenadoma izginil, skupaj s svojo različico Kilix za Linux.

Sredi prejšnjega desetletja sem na nekem seminarju opazoval predavatelja, kako uspešno je zganjal grafiko na spletni strani z običajnim Javascriptom. Prikaz mi je bil zelo všeč, dosti manj pa koda. Sem pač scrkljan tako od Pascala in Delphija, da ko slišim C++, skoraj dobim ošpice, največ, kar lahko še prezvečim, je Python. Poleg tega se mi je zdelo, da uporablja trike iz CSS. Kljub temu sem napisal nekaj kratkih programov v Javascriptu, pa jih tudi hitro pozabil zaradi obilice drugega dela.

Potem pa mi je prišel v roke standard zadnje verzije HTML-ja, torej HTML 5.0. Podpirajo ga vsi moderni brskalniki, pa tudi mobilne priprave. Postal sem pozoren na njegovo podporo grafiki in sklenil sem, da spet poskusim. Tole je (s pomočjo priročnika seveda) pravkar ratalo. Ni bogvekaj in nič ne miga, je pa dokaz, da se da:

<html>
<head>
	<style type="text.css">
		canvas {border: 1px solid black}
	</style>
</head>
<body>
<h3>Moja prva grafika v HTML5</h3>
<canvas id="mycanvas" width="800" height="500"></canvas>
<script language ="Javascript">
var canvas = document.getElementById('mycanvas');
var c = canvas.getContext('2d');
c.fillStyle="red";
c.fillRect(0,0,20,10);

c.lineWidth=1;
c.beginPath();
c.moveTo(0,100);
c.lineTo(201,100);
c.stroke()

c.beginPath();
c.moveTo(100,0);
c.lineTo(100,120);
c.stroke()

for (i=-100;i<100;i++)
{
c.fillStyle="black";
c.lineColor="red";
c.lineWidth=3;
c.beginPath();
c.moveTo(i+100,100-i*i/100);
c.lineTo(i+101,100-i*i/100);
c.stroke()
}
</script>

</body>
</html>

zgornja koda  nam da naslednji graf kvadratne funkcije:

HTML5 ima navo značko platno <canvas>, na katerega lahko rišemo na spletni strani. Canvas je poznal tudi Delphi, zato  je pojem poznan. Nanj rišemo z ukazi iz Javascripta, kot so drawRect, fill in drawImage.

 

Moja prva grafika v HTML5


Preslikave

Objavljeno ,

Poišči bijektivno preslikavo, ki preslika zaprti interval [0,1] v odprti interval (0,1).

No pa dajmo s pomočjo pokojnega Cantorja:

0 in 1 je treba preslikat nekam noter v interval. Po kosih definirajmo f(x):

če x=0; f(x)=1/2

in sedaj neskončno ulomkov oblike 1/n premaknemo za dve mesti v neskončnost:

če x=1/n; f(x)=1/(n+2) pri čemer je n € N

vse ostale x pa preslikamo vase … Na kratko:

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\[f(x) = \begin{cases}
1/2, & x=0 \\
1/(n+2), & x=1/n & n \in N \\
x, & \text{ sicer}\end{cases}\]

*** Error message:
Extra alignment tab has been changed to \cr.
leading text: 1/(n+2), & x=1/n &

\\
Naslednji izziv: najdi (vsaj eno) bijektivno preslikavo, ki preslika odprti interval (0,1) v množico realnih števil R.

 

Razdalja točke od premice(1)

Objavljeno ,

Razdalja točke od premice v ravnini je poglavje, ki je iz slovenskih učbenikov izginilo pred nekako tridesetimi leti. Pred tem ga najdemo v Križaničevih učbenikih z izpeljavo, ki se mi ne zdi najbolj posrečena. Morda bi bilo bolje ravnati takole:

Primerjajmo najprej obliko enačbe premice skozi  točki T_1(x_1,y_1) in T_2(x_2,y_2) ter njeno implicitno obliko

    \[ax+by+c=0.\]

.  Spremenimo prvo obliko

    \[y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}{(x-x_1)}\]

v drugo, pa po ureditvi  dobimo

    \[(y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+x_1y_2-x_2y_1=0.\]

Opazimo, da je

    \[y_1-y_2=a,\quad x_2-x_1=b\]

in

    \[x_1y_2-x_2y_1=c.\]

  Te zveze bomo uporabili pri izpeljavi razdalje točke od premice.

Sedaj pa k nalogi: Imejmo  v ravnini premico p, ki je podana v implicitni obliki ax+by+c=0. Poleg tega imejmo še točko T_o(x_o,y_o) in radi bi določili razdaljo d(T_o,p) te točke od premice, kot je razvidno na skici:



Izberimo na tej premici poljubni točki T_1(x_1,y_1) in T_2(x_2,y_2). Opazimo, da točke T_o, T_1 in T_2 tvorijo oglišča trikotnika in iskana razdalja d je ravno višina trikotnika. Višino pa lahko  dobimo iz ploščine trikotnika, to pa znamo izračunati. Torej lahko zapišemo

    \[d(T_o,p)=\frac{2S}{d(T_1,T_2)},\]

pri čemer je

    \[S=\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}x_1-x_o&y_1-y_o\\x_2-x_o&y_2-y_o\end{Vmatrix}\]

ploščina trikotnika,

    \[d(T_1,T_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{a^2+b^2}\]

pa dolžina osnovnice trikotnika, torej razdalja med točkama  T_1(x_1,y_1) in T_2(x_2,y_2).  Torej je

    \[d(To,p)=\frac{|x_1y_2+x_oy_o-x_1y_o-x_oy_2-x_2y_1-x_oy_o+x_2y_o+x_oy_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]

Ko uredimo še števec, dobimo ravno

    \[d(T_o,p)=\frac{|ax_o+by_o+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]

kar je iskani obrazec.  Opazimo lahko, da je premica z enačbo ax+by+c=0 od izhodišča koordinatnega sistema oddaljena za

    \[\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]

Sangaku(7)

Objavljeno ,

Če sta stranici rjavih kvadratov zaporedoma a in b, kolikšna je

  • ploščina oranžnega kvadrata,
  • ploščina vijoličastega kvadrata,
  • ploščina zelenega kvadrata?

Naloga je rešljiva z znanjem drugega letnika srednje šole. A če znate potegniti pravo črto (kar zna po mnenju mojega profesorja dr. Franca Križaniča, beri Nihalo, prostor in delci – le pravi matematik) postane naloga rešljiva že z znanjem osnovne šole. Korajžno na delo!