Perioda neke funkcije

Andrej je zastavil naslednjo nalogo:

Koliko je osnovna perioda funkcije \(f(x), \) za katero velja \(\sqrt{3}f(x) = f(x – 1) + f(x + 1)\)?

Rešitev: V zgornjo zvezo vstavimo najprej $x=1$ pa pridelamo zvezo:

$$f(2)=\sqrt{3}f(1)-f(0).$$

Tako nadaljujemo, pa dobimo še

$$f(3)=\sqrt{2}f(1)-f(1)=2f(1)-\sqrt{3}f(0),$$

$$f(4)=\sqrt{3}f(1)-f(2)=\sqrt{3}f(1)-2f(0),$$

$$f(5)=\sqrt{3}f(4)-f(3)=f(1)-\sqrt{3}f(0),$$

$$f(6)=\sqrt{5}f(4)-f(4)=-f(1).$$

Zaslutimo, da smo na pol poti in tudi, kolikšn bo rezultat. Nadaljujemo:

$$f(7)=\sqrt{3}f(6)-f(5)=f(1)-\sqrt{3}f(0),$$

$$f(8)=\sqrt{3}f(7)-f(6)=-\sqrt{3}f(1)+f(0),$$

$$f(9)=\sqrt{3}f(8)-f(7)=-2{3}f(1)+\sqrt{3}f(0),$$

$$f(10)=\sqrt{3}f(9)-f(8)=-\sqrt{3}f(1)+2f(0),$$

$$f(11)=\sqrt{3}f(10)-f(9)=-f(1)+\sqrt{3}f(0)$$

in nazadnje

$$f(12)=\sqrt{3}f(11)-f(10)=f(0).$$

Ker je $f(x+12)=f(x),$ je osnovna perioda te funkcije $12.$

Katera funkcija bi to lahko bila, pa prepuščamo v razmislek naprednemu bralcu.

Anton Berce: Naravni številski sistem

Moj prijatelj in študijski kolega Anton Berce v članku Naravni številski sistem razširi pojem faktorsko na negativna števila, razloži naravni  številski sistem in uvede relativne binomske formule.

Avtor piše o članku naslednje:

“V recenzijo Obzorniku sem ga prvič poslal jeseni 2004, potem pa pilil po pripombah recenzentov do pomladi 2005, pozno poleti pa mi je urednik sporočil, da so dolgo tehtali ali bi objavili ali ne, vendar pa je prevladalo mnenje, da je za bralce Obzornika prezahteven. Sicer mi je res predlagal da temo poenostavim, meni pa je zmanjkovalo volje in moči in tudi službene ter druge obveznosti, ki sem jih vsaj eno leto zaradi članka odlagal so začele terjati obresti. ”

Kliknite na povezavo:

THE NATURAL NUMBER SYSTEM

Vsota vrste (n+1)/6^(n+1)

Izračunaj vsoto neskončne vrste:

$$S = \frac{2}{6^2}+\frac{3}{6^3}+\frac{4}{6^4}+\dots$$

Eden od možnih načinov reševanja je lahko naslednji:

Kaže, da na desni strani manjka prvi člen, torej $\frac{1}{6}$. Zato bomo raje sešteli vrsto

$$S_1 = \frac{1}{6}+\frac{2}{6^2}+\frac{3}{6^3}+\frac{4}{6^4}+\dots$$

Zapišimo člene te vrste v tabeli takole

$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{6^2},\frac{1}{6^2},$
$\frac{1}{6^3},\frac{1}{6^3},\frac{1}{6^3}$
$\frac{1}{6^4},\frac{1}{6^4},\frac{1}{6^4},\frac{1}{6^4}$

$\vdots$

Sedaj pa ni več težko, saj imamo v stolpcih geometrijske vrste…in to z enakim količnikom…:-)

Intervju z učiteljem matematike o domačih nalogah

Med urejanjem  (beri brisanjem) dokumentov po disku sem med množico razne solate, ki jo mora izpolniti današnji učitelj, našel tudi tale intervju. Ne spomnim se več, kdo je avtor vprašanj (morda se bo pa javil?), a  celoten intervju bi utegnil biti dobra informacija, namenjena predvsem dijakom in staršem, morda pa celo učiteljem.  Zato sem sklenil, da ga (skoraj) nespremenjenega objavim v spletni obliki.

  1. Kakšno je vaše mnenje o domačih nalogah? Katere so prednosti/slabosti domačih nalog?

Vprašanje je nekam čudno formulirano. Domače naloge so zelo, če ne najbolj pomemben del procesa pridobivanja in  utrjevanja znanja učenca. Brez samostojnega dela doma je učenčevo znanje precej podobno znanju butalskega kovača.

  1. Kakšna je po vašem mnenju dobro zastavljena domača naloga? Kakšna mora biti njena vsebina, obseg in predvidena časovna obremenitev?

Nalog mora biti ravno dovolj, da učenec pri (skoraj) vsaki naslednji pridobi ali utrdi del novega znanja ali novo izkušnjo, njen namen pa naj ne bo dril.  Upošteva naj načela od lažjega  k težjemu, od enostavnega k sestavljenemu, itd. Ker gre za individualno telo, lahko učenec naloge, ki se mu zdijo prelahke,  tudi preskoči. Časovno naj traja do šolsko uro za pripravljenega učenca, zajema pa naj tudi pregled že rešenih primerov.

  1. Koliko časa vi porabite pri sestavi domače naloge za učence?

Ker naloge poznam, običajno zadnjih 5 minut šolske ure. Učence opozorim na vrstni red reševanja, pri nalogah, kjer se mi zdi to potrebno, jim dam tudi kak namig. Včasih pa naloga zahteva tudi daljšo razlago.

  1. Na kakšen način posredujete (v katerem delu ure, …) in preverjate domače naloge?  

Proti koncu ure povem številke nalog iz učbenika ali zbirke vaj, po jemanju nove snovi jih napotim tudi na rešene primere v učbeniku, svojo spletni učilnico ter učilnico E-um.  Preverjam na začetku ure. Tu lahko učenci tudi vprašajo za potek tistih nalog, ki jih niso uspeli rešiti ali je jim ne ujema rezultat.

  1. Kakšna je po vašem mnenju vloga staršev pri domačih nalogah?

Različna. Nekateri starši se zavedajo, da rezultate lahko prinese samo trdo delo in podpirajo tako učenca kot učitelja, ki naloge daje, ostali pa iščejo za svoje otroke bližnjice in kričijo, da je nalog preveč.

Grafika na spletni strani, Javascript in HTML5

Matematik želi prikazati matematično grafiko na zaslonu, po možnosti na spletni strani in -še bolj zaželjeno – po možnosti dinamično. Na začetku je te prikaze sprogramiral sam. Nato pa je bila v preteklih desetletjih razvita vrsta orodij, od tistih za prikaz grafov do orodij za modeliranje, ki se uporabljajo namensko npr. v strojništvu, gradbeništvu.  Programiranje je domala izginilo, sploh pa iz šol.  Slovenske firme danes vneto iščejo programerje, v glavnem brezuspešno. Nekatere jih morajo celo uvažati iz vzhodnih držav.

Sam sem se z dijaki precej ukvarjal z računalniško grafiko, najprej v strem dobrem Turbo Pascalu v operacijskem sistemu DOS, pod Okni pa v nadaljevanju Pascala  – programu Delphi. Dijaki so znali napisati samostojne grafične aplikacije, pretežno simulacije fizikalnih pojavov, in ti programi so se preko orodja Activex dali zaganjati tudi preko spleta. Napredno za tiste čase ob koncu tisočletja, a tudi povezano s težavami. Brskalnik je moral imeti varnostne nastavitve znižane, Delphi pa je bil plačljiv program in je kar nenadoma izginil, skupaj s svojo različico Kilix za Linux.

Sredi prejšnjega desetletja sem na nekem seminarju opazoval predavatelja, kako uspešno je zganjal grafiko na spletni strani z običajnim Javascriptom. Prikaz mi je bil zelo všeč, dosti manj pa koda. Sem pač scrkljan tako od Pascala in Delphija, da ko slišim C++, skoraj dobim ošpice, največ, kar lahko še prezvečim, je Python. Poleg tega se mi je zdelo, da uporablja trike iz CSS. Kljub temu sem napisal nekaj kratkih programov v Javascriptu, pa jih tudi hitro pozabil zaradi obilice drugega dela.

Potem pa mi je prišel v roke standard zadnje verzije HTML-ja, torej HTML 5.0. Podpirajo ga vsi moderni brskalniki, pa tudi mobilne priprave. Postal sem pozoren na njegovo podporo grafiki in sklenil sem, da spet poskusim. Tole je (s pomočjo priročnika seveda) pravkar ratalo. Ni bogvekaj in nič ne miga, je pa dokaz, da se da:

<html>
<head>
	<style type="text.css">
		canvas {border: 1px solid black}
	</style>
</head>
<body>
<h3>Moja prva grafika v HTML5</h3>
<canvas id="mycanvas" width="800" height="500"></canvas>
<script language ="Javascript">
var canvas = document.getElementById('mycanvas');
var c = canvas.getContext('2d');
c.fillStyle="red";
c.fillRect(0,0,20,10);

c.lineWidth=1;
c.beginPath();
c.moveTo(0,100);
c.lineTo(201,100);
c.stroke()

c.beginPath();
c.moveTo(100,0);
c.lineTo(100,120);
c.stroke()

for (i=-100;i<100;i++)
{
c.fillStyle="black";
c.lineColor="red";
c.lineWidth=3;
c.beginPath();
c.moveTo(i+100,100-i*i/100);
c.lineTo(i+101,100-i*i/100);
c.stroke()
}
</script>

</body>
</html>

zgornja koda  nam da naslednji graf kvadratne funkcije:

HTML5 ima navo značko platno <canvas>, na katerega lahko rišemo na spletni strani. Canvas je poznal tudi Delphi, zato  je pojem poznan. Nanj rišemo z ukazi iz Javascripta, kot so drawRect, fill in drawImage.

 

Moja prva grafika v HTML5


Preslikave

Poišči bijektivno preslikavo, ki preslika zaprti interval $ [0,1]$ v odprti interval $(0,1)$.

No pa dajmo s pomočjo pokojnega Cantorja:

0 in 1 je treba preslikat nekam noter v interval. Po kosih definirajmo f(x):

če x=0; f(x)=1/2

in sedaj neskončno ulomkov oblike 1/n premaknemo za dve mesti v neskončnost:

če x=1/n; f(x)=1/(n+2) pri čemer je n € N

vse ostale x pa preslikamo vase … Na kratko:

$$f(x) = \begin{cases}
1/2, & x=0 \\
1/(n+2), & x=1/n & n \in N \\
x, & \text{ sicer}\end{cases}$$\\
Naslednji izziv: najdi (vsaj eno) bijektivno preslikavo, ki preslika odprti interval (0,1) v množico realnih števil R.

 

Razdalja točke od premice(1)

Razdalja točke od premice v ravnini je poglavje, ki je iz slovenskih učbenikov izginilo pred nekako tridesetimi leti. Pred tem ga najdemo v Križaničevih učbenikih z izpeljavo, ki se mi ne zdi najbolj posrečena. Morda bi bilo bolje ravnati takole:

Primerjajmo najprej obliko enačbe premice skozi  točki \(T_1(x_1,y_1)\) in \(T_2(x_2,y_2)\) ter njeno implicitno obliko \[ax+by+c=0.\].  Spremenimo prvo obliko \[y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}{(x-x_1)}\] v drugo, pa po ureditvi  dobimo

\[(y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+x_1y_2-x_2y_1=0.\]

Opazimo, da je \[y_1-y_2=a,\quad x_2-x_1=b\] in \[x_1y_2-x_2y_1=c.\]  Te zveze bomo uporabili pri izpeljavi razdalje točke od premice.

Sedaj pa k nalogi: Imejmo  v ravnini premico p, ki je podana v implicitni obliki \(ax+by+c=0\). Poleg tega imejmo še točko \(T_o(x_o,y_o)\) in radi bi določili razdaljo \(d(T_o,p)\) te točke od premice, kot je razvidno na skici:



Izberimo na tej premici poljubni točki \(T_1(x_1,y_1)\) in \(T_2(x_2,y_2)\). Opazimo, da točke \(T_o, T_1\) in \(T_2\) tvorijo oglišča trikotnika in iskana razdalja \(d\) je ravno višina trikotnika. Višino pa lahko  dobimo iz ploščine trikotnika, to pa znamo izračunati. Torej lahko zapišemo

\[d(T_o,p)=\frac{2S}{d(T_1,T_2)},\]

pri čemer je \[S=\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}x_1-x_o&y_1-y_o\\x_2-x_o&y_2-y_o\end{Vmatrix}\] ploščina trikotnika,

\[d(T_1,T_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{a^2+b^2}\]

pa dolžina osnovnice trikotnika, torej razdalja med točkama  \(T_1(x_1,y_1)\) in \(T_2(x_2,y_2)\).  Torej je

\[d(To,p)=\frac{|x_1y_2+x_oy_o-x_1y_o-x_oy_2-x_2y_1-x_oy_o+x_2y_o+x_oy_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]

Ko uredimo še števec, dobimo ravno

\[d(T_o,p)=\frac{|ax_o+by_o+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]

kar je iskani obrazec.  Opazimo lahko, da je premica z enačbo \(ax+by+c=0\) od izhodišča koordinatnega sistema oddaljena za

\[\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]

Sangaku(7)

Če sta stranici rjavih kvadratov zaporedoma a in b, kolikšna je

  • ploščina oranžnega kvadrata,
  • ploščina vijoličastega kvadrata,
  • ploščina zelenega kvadrata?

Naloga je rešljiva z znanjem drugega letnika srednje šole. A če znate potegniti pravo črto (kar zna po mnenju mojega profesorja dr. Franca Križaniča, beri Nihalo, prostor in delci – le pravi matematik) postane naloga rešljiva že z znanjem osnovne šole. Korajžno na delo!

Sangaku(4)

Četrta japonska uganka je zelo lepa, a morda malo težja – ali pa tudi ne?

Določite polmer katerega od skladnih krogov, če je stranica kvadrata enaka 1. Določi tudi kot med poševnico skozi spodnje levo oglišče in osnovnico kvadrata.

PTR v srednji šoli(9)

Lorenzove transformacije lahko zapišemo v kompaktnejši matrični obliki:

\[
\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\end{bmatrix}
\]

V njej nastopa Lorenzova matrika

\[
\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}&\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}\\\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}&\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
\end{bmatrix}\quad\quad\quad(1)
\]

Prvo koordinato v levem vektorju enačbe (1) dobimo tako, da skalarno pomnožimo 1. vrstico matrike z desnim vektorjem in podobno tudi 2. koordinato. Pred matriko je relativistični faktor.

Opazimo, da se s svetlobno hitrostjo c pomnoženi čas v zapisu obnaša tako kot koordinata x. Če pišemo še koordinati y in z, ki sta prečni na smer gibanja, dobimo

\[
\begin{bmatrix}
ct\\x\\y\\z
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\gamma& \gamma\beta&0&0\\\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
ct^\prime\\x^\prime\\y^\prime\\z^\prime\end{bmatrix}
\]

Seveda tudi tu velja, da dobimo i-to komponento levega vektorja tako, da skalarno pomnožimo i-to vrstico matrike z desnim vektorjem. Še obratna Lorenzova transformacija:

\[
\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\\y^\prime\\z^\prime
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\gamma& -\gamma\beta&0&0\\-\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z
\end{bmatrix}
\]

Relacije nam ponujajo odgovor na vprašanje, kaj je čas. Čas je pač ena od koordinat štirirazsežnega prostora-časa. Vektorju

\[
\begin{bmatrix}
ct\\x\\y\\z
\end{bmatrix}\]

pravimo dogodek  v prostoru- času. Lorentzove transformacije nam pomagajo preračunavati dogodke iz enega v drug inercialni sistem v prostoru-času.

PTR v srednji šoli(4)

NOVE TRANSFORMACIJE

Iščemo torej linearno transformacijo, ki prevede točko $(u,v)$ v točko $(u^\prime,v^\prime)$ tako, da  velja zveza
$$u^{\prime 2}-v^{\prime 2}=u^2-v^2.$$
Ker je transformacija linearna,  jo iščemo v obliki
$$u=Au^\prime +Bv^\prime \qquad v=Cu^\prime +Dv^\prime ,$$
pri čemer so A, B,C in D konstante, ki jih je treba določiti. Vstavimo zato te transformacije v zgornjo enačbo, pa dobimo
$$(Au^\prime+Bv^\prime )^2-(Cu^\prime+Dv^\prime )^2=u^{\prime2}-v^{\prime 2}.$$
Po kvadriranju in primerjanju koeficientov dobimo naslednje enačbe
$$A^2-C^2=1,\quad AB=CD, \quad C^2-D^2=-1.$$
Imamo torej tri enačbe in štriri neznanke. Zato uvedemo parameter
$$\beta=\frac{C}{A}=\frac{B}{D}$$
ter z njim izrazimo vse koeficiente. Dobimo
$$A=D=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad B=C=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}$$
Iskane transformacije so torej
$$u=\frac{u^\prime+\beta v^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad v=\frac{\beta u^\prime+v^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},$$
obratne transformacije pa
$$u^\prime=\frac{u-\beta v}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad v^\prime=\frac{-\beta u+v}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$
Naslednjič pa jim bomo dali fizikalni pomen.

PTR v srednji šoli(3)

Oba inercialna sistema so povezovale Galilejeve transformacije, a te smo v zadnjem poglavju razglasi za neveljavne. Potrebujemo torej nove transformacije.

Vprašamo se, ali je kaj, kar opišeta enako oba,  sprevodnik in postajenačelnik.  Odgovor nam spet prinese naslednji miselni poskus:

Mislimo si, da se vlak s sprevodnikom približuje postajenačelniku. Koordinatna sistema obeh imata vzporedne osi, vlak in z njim gibajoći se koordinatni sistem pa se giblje  v smeri  postajenačelnikove x-osi.  V trenutku, so oba koordinatna sistema pokrijeta, na vlaku zasveti okrogla luč..  Sprevodnik  opiše svetlobo kot krogelni val, ki se širi s hitrostjo svetlobe c na vse strani, torej

\[x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=c^2t^{\prime 2}.\].

Postajenačelnik pa val opiše podobno, a v svojih koordinatah

\[x^{2}+y^{2}+z^{ 2}=c^2t^{2}.\]

Vidimo torej, da sta opisa enaka. Velja torej

\[x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}=x^{2}+y^{2}+z^{ 2}-c^2t^{2}.\].

Ker se vlak giblje prečno na koordinate \[y,y^\prime, z, z^\prime,\] je

\[y=y^\prime,\quad z=z^\prime,\]

pa se zgornja zveza še poenostavi v

\[x^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}=x^{2}-c^2t^{2}.\].

Iščemo torej linearno transformacijo, ki bo zadostila zgornji enačbi.

PTR v srednji šoli (2)

Morda ste uganili, kaj je bilo treba prečrtati – Galilejeve transformacije. Na prvi pogled je nenavadno, da ne veljajo enačbe, ki so se do takrat izkazale za dobro preizkušene. A vendar imamo sedaj razmere, ki so posebne – zelo velike hitrosti. Hitrosti, ki niso majhne v primeri s hitrostjo svetlobe.  Galilejeve transformacije dobro veljajo pri majhnih hitrostih, pri ekstremnih hitrostih pa odpovejo.

Če Galilejeve transformacije ne veljajo več, potem čas ni več absoluten, temveč relativen – odvisen od opazovalnega sistema.  To pa ima v primerjavi z dosedašnjim gledanjem na svet nenavadne posledice. Oglejmo si eno od njih v naslednjem (miselnem) poskusu:

SOČASNOST JE RELATIVNA

Imejmo vlak, ki je zelo dolg in se zelo hitro giblje. Njegova dolžina naj bo 300.000km, njegova hitrost pa  4c/5. Vlak ima dvoje vrat, ki se odpirata takrat, ko žarek svetlobe iz žarnice na sredini vlaka posveti na fotocelico na vratih. Sprevodnik stoji na sredini vlaka in s stikalom odpira vrata. Ker vrata  glede na sprevodnika mirujejo, le-ta opiše odpiranje vrat takole: Od trenutka, ko posveti žarnica potuje svetloba proti zadnjim vratom in po

\[t_1=\frac{150000km\cdot s}{300000km}=0,5s\]

se le-ta odprejo. Ravno tako ponovi račun za odpiranje prvih vrat

\[t_2=\frac{150000km\cdot s}{300000km}=0,5s.\]

Oba časa sta enaka, za sprevodnika se oboja vrata torej odprejo sočasno.

Dogajanje na drvečem vlaku pa opazuje tudi postajenačelnik, ki vidi dogajanje  nekoliko drugače : Medtem, ko potuje svetloba s hitrostjo c proti zadnjim vratom, se ji le-ta približujejo s hitrostjo 4c/5. Zato se zadnja vrata odprejo po času

\[t_1=\frac{150000km\cdot s}{300000km+240000km}=\frac{5}{18}s,\]

prva vrata pa se žarku odmikajo, zato je

\[t_2=\frac{150000km\cdot s}{300000km-240000km}=2,5s.\]

Postajenačelniku se torej vrata ne odprejo istočasno, zadnja vrata se odprejo prej kot prva. Dogodka, ki sta sočasna v enem opazovalnem sistemu, nista sočasna v drugem. Pravimo, da je sočasnost dogodkov relativna, torej odvisna od opazovalnega sistema.

PTR v srednji šoli

Posebna teorija relativnosti v srednji šoli -uvod

Imel sem srečo, sam sem to teorijo v šolskem letu 1970/71 kot dijak  Gimnazije Črnomelj slišal kar dvakrat. Matematik Marjan Skrbinšek jo je povzel po učbeniku Franceta Križaniča Atirmetika, algebra in analiza, za moj okus najboljšem slovenskem učbeniku matematike do sedaj. Fizik Jože Pavlišič pa je pri fizikalnem krožku ubral bolj fizikalni pristop, ki je temeljil na takrat pravkar izšli Sigmini knjižici Janeza Strnada Relativnost.  Skoraj dve desetletji kasneje sem imel to poglavje priliko spet slišati pri Ivanu Kuščerju v okviru predmeta Osnove klasične fizike na tretji stopnji pedagoške fizike, Janez Strand pa ji je namenil tudi eno od poglavij v Učbeniku Fizika za družboslovce, ki se je uporabljal v okviru usmerjenega izobraževanja. Kasneje je kot celota iz učbenikov izginila, v fiziki se uporablja le še pri obravnavi energije delcev.

STR se mi zdi pomembna, saj dijaku odpre nove poglede na svet okrog nas in ponuja odgovor ena nekatera temeljna vprašanja.. Zato jo poskušam prenesti dijakom v obliki, o kateri nameravam pisati v nadaljevanju.

Temelji fizike na začetku 20. stoletja

Klasična fizika je v tistem času temeljila na naslednjih načelih:

  1. Prostor je izotropen in homogen. Homogenost prostora pomeni, da je izid fizikalnega poskusa neodvisen od tega, kje ga izvajamo, izotropnost pa, da je za izid vseeno, kako je merilna priprava zasukana.
  2. Čas je homogen. Izid fizikalnega poskusa je torej neodvisen od tega, kdaj poskus izvajajmo. Fizikalni poskusi so torej ponovljivi in v enakih okoliščinah pričakujemo enak rezultat.
  3. Vsi inercialni sistemi so enakovredni.  Ker fizik meri, potrebuje koordinatni sistem in uro. Tak sistem je lahko glede na okolico mirujoč, lahko pa se giblje glede na njo s hitrostjo [math]v_o[/math] , npr. ladja glede na obalo. Sistem je inercialen, če se glede na okolico giblje nepospešeno, torej premo enakomerno.  To načelo torej pove, da so izidi poskusov v vseh nepospešenih sistemih (npr. na kopnem ali na enakomerno ploveči ladji) enaki.
  4.   Oba inercialna sistema vežejo Galilejeve transformacije.Te transformacije povezujejo  meritve, ki jih je opravil opazovalev v mirujočem se sistemu, z meritvami tistega  v gibajočem se sistemu.  Ivan Kuščer je to ponazoril kar z vlakom, ki pelje mimo postajenačelnika s hitrostjo  $v_o$. Postajenačelnik in sprevodnik na vlaku merita  koordinato  in čas potnika, ki se iz zadnjega vagona giblje proti strojevodji . Postajenačelnik nameri  x in t, sprevodnik pa x’ in t’. Galilejeve transformacije pravijo

    \[t=t^\prime,\quad x=x^\prime+v_0t^\prime\]

    Oba opazovalca torej merita isti čas (ali čas je absoluten),  Postajenačelnik izmeri hitrost potnika v, sprevodnik pa v’. Zveza med obema hitrostima sledi iz Galilejevih transformacij takole

    \[ v=\frac{x}{t}=\frac{x^\prime+v_ot^\prime}{t^\prime}=v^\prime+v_o.\]

    Primer: Če vozi vlak s hitrostjo 20km/h, potnik pa s giblje proti strojevodji s hitrostjo 5km/h glede na vlak, bo postajenačelnik nameril za potnikovo hitrost 25km/h.

  5. Hitrost svetlobe je v vseh inercialnih sistemih enaka. Z drugimi besedami, hitrosti se ne da pospeševati ne zavirati. To načelo o svetlobni hitrosti je rezultat Michelsonon-Morleyevega poskusa v 80.letih 19. stoletja.

Njun poskus je imel namen izmeriti hitrost Zemlje pri svojem gibanju okrog Sonca glede na eter – namišljeno snov, ki zapolnjuje vesolje in so jo takratni fiziki potrebovali kot sredstvo, po katerem se širi elektromagnetno valovanje, torej tudi svetloba.  Primerjala sta hitrost  svetlobe iz smeri, v katero se je Zemlja gibala, in hitrost svetlobe iz smeri pravokotno na gibanje.  Meritev, ki bila izredno natančna, sta ponavljala skoraj celo desetletje, rezultat pa je bil vsakič 0. Obe hitrosti sta bili torej enaki. Njun poskus je pomenil, da ima svetloba v gibajočem se sistemu enako hitrost kot svetloba v mirujočem (pravokotnem na gibanje) sistemu, posledično pa tudi konec teorije o etru.

Očitno so načela med seboj v protislovju, kar nam pokaže naslednji (namišljen) poskus:

Predstavljajmo si, da sprevodnik  zajaha svetlobni žarek in se na njem pelje mimo postajenačelnika s hitrostjo c. V roki pa drži baterijo in z njo posveti   v smeri hitrosti vožnje. Kolikšna je hitrost svetlobe iz baterije za postajenačelnika?

Odgovor nam da seštevanje hitrosti po Galilejevih transformacijah

\[ v=v^\prime+v_o=c+c=2c.\]

Rezultat  pa je očitno v nasprotju z načelom o svetlobni hitrosti, saj hitrost ne bi smela presegati c.

Kljub temu, da bilo  nekaj poskusov razrešitve tega protislovja pred A. Einsteinom, je moral priti prav on, da je eno od načel prečrtal. Če bi bili na njegov mestu, katerega bi prečrtali vi?

O eksponentni rasti

Kljub temu, da pri nas spoznamo eksponentno funkcijo v srednji šoli, običajni ljudje nimajo prave predstave o njej. Število zrn žita, postavljenih na zadnje polje šahovske plošče, skoraj vsakega preseneti.  Sorazmerno dobro si predstavljamo linearno funkcijo  in linearno rast ali upadanje, medtem ko izraze, kot so npr.  “3 procentna rast na leto” ali celo “7 procentne obresti na letni ravni”  marsikdo ne razume ali pa zamenja z linearno rastjo.

A  Američani so praktični. Namesto strogih obrazcev in preciznih izpeljav  ponujajo približne obrazce za eksponentno rast, ki pa k njenem razumevanju bistveno pripomorejo. Tako lahko najdete v spletnem predavanju profesorja Alberta Bartletta dva obrazca,  sorazmerno neznana našim šolarjem:

S prvim računajo  podvojitveni čas $t_2 $ količine, torej čas, v katerem se količina pri taki rasti podvoji. Njegov obrazec je glasi takole:

$$t_2\doteq \frac{70}{p}, $$

pri čemer je p odstotek rasti rasti količine v enoti časa. Če je torej  $p=3\%/leto $, je $t_2=23let, $  če pa je $p=7\%/leto $, je podvojitveni čas že $t_2=10 let. $

Drugi obrazec pa govori o povečanju količine, ki eksponentno raste z letno stopnjo $ p$ v 70 letih, kar je približno obdobje človeškega življenja.  Če je $y $ vrednost  neke količine na začetku, $y_{70} $ vrednost te količine po 70 letih, $ p $ pa letna  stopnja rasti, potem ta  približni obrazec pravi

$$y_{70}\doteq y_o2^{p} $$

Pri letni rasti 3% se količina v 70 letih torej količina poveča osemkrat, pri letni rasti 7% pa kar 128-krat.

V nadaljevanju bomo pogledali, kako te zanimive in uporabne obrazce izpeljemo in kako dobri približki so.