PTR v srednji šoli(10)

povečanje mase

Zadnjič smo ugotovili, da so dogodki, kot jih izmerita postajenačelnik in sprevodnik, štiri razsežni vektorji v prostoru-času. Če upoštevamo, da se koordinati y in z, ki sta prečni na gibanje vlaka, ne spreminjata, zadošča, da pišemo samo dvorazsežne vektorje, torej

\[\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}\]     in     \[\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\end{bmatrix}\]

Tudi druge količine nastopajo v PTR v parih. Hitrost,  kot jo izmeri postajenačelnik, je npr. odvod dogodka po času, torej

\[\begin{bmatrix}\dot{ct}\\\dot{x}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\\v\end{bmatrix}\]      in     \[\begin{bmatrix}\dot{ct^\prime}\\\dot{x^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\\v^\prime\end{bmatrix}.\]

Ravno tako zapišemo gibalno količino v obeh sistemih

\[\begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}\]      in      \[\begin{bmatrix}{G_o^\prime}\\{G^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}m^\prime c\\m^\prime v^\prime\end{bmatrix}.\]

Vemo že, da  dogodka tudi gibalni količini, ki ju  izmerita sprevodnik in postajenačelnik, vežeta Lorentzovi transformaciji

\[
\begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}G_o^\prime\\G^\prime\end{bmatrix}
\]

Opazujmo telo, ki se pelje v vlaku in miruje glede na sprevodnika, tako da on izmeri lastno maso telesa

\[m^\prime=m_o\]

Njegova gibalna količina je za postajenačelnika

  \[\begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}\],

za sprevodnika pa

\[\begin{bmatrix}{G_o^\prime}\\{G^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}m_o c\\0\end{bmatrix}.\]

Vstavimo to v Lorentzove transformacije, pa dobimo

\[
\begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}m_oc\\0\end{bmatrix}
\]

Prva vrstica nam da

\[mc=\frac{m_oc}{\sqrt{1-\beta^2}},\]

druga pa

\[mv=\frac{\beta m_oc}{\sqrt{1-\beta^2}}.\]

Upoštevajmo v obeh relacijah, da je

\[\beta=\frac{v}{c},\]

pa dobimo obakrat

\[m=\frac{m_o}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.\]

Masa delca se torej poveča za vse opazovalce, ki ne mirujejo glede nanjo. Povečanje je skladno z relativističnim faktorjem, svetlobni hitrosti bi ustrezala naskončna masa delca. Posledica tega je, da delec, ki mirovno maso ima, ne more doseči svetlobne hitrosti.

Tako se lahko s svetlobno hitrostjo lahko gibljejo samo delci brez mirovne mase, npr. fotoni. Vendar se delci z mirovno maso, kot so npr. elektroni ali protoni, lahko, če imajo dovolj energije (npr. v pospeševalnikih) tej hitrostil zelo približajo.