Oba inercialna sistema so povezovale Galilejeve transformacije, a te smo v zadnjem poglavju razglasi za neveljavne. Potrebujemo torej nove transformacije.
Vprašamo se, ali je kaj, kar opišeta enako oba, sprevodnik in postajenačelnik. Odgovor nam spet prinese naslednji miselni poskus:
Mislimo si, da se vlak s sprevodnikom približuje postajenačelniku. Koordinatna sistema obeh imata vzporedne osi, vlak in z njim gibajoći se koordinatni sistem pa se giblje v smeri postajenačelnikove x-osi. V trenutku, so oba koordinatna sistema pokrijeta, na vlaku zasveti okrogla luč.. Sprevodnik opiše svetlobo kot krogelni val, ki se širi s hitrostjo svetlobe c na vse strani, torej
\[x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=c^2t^{\prime 2}.\].
Postajenačelnik pa val opiše podobno, a v svojih koordinatah
\[x^{2}+y^{2}+z^{ 2}=c^2t^{2}.\]
Vidimo torej, da sta opisa enaka. Velja torej
\[x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}=x^{2}+y^{2}+z^{ 2}-c^2t^{2}.\].
Ker se vlak giblje prečno na koordinate \[y,y^\prime, z, z^\prime,\] je
\[y=y^\prime,\quad z=z^\prime,\]
pa se zgornja zveza še poenostavi v
\[x^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}=x^{2}-c^2t^{2}.\].
Iščemo torej linearno transformacijo, ki bo zadostila zgornji enačbi.
