Lagrangeova identiteta

Med nenavadno snovjo, ki smo jih pri matematiki spoznavali pri prof. Marijanu Skrbinšku v 2. letniku črnomaljske gimnazije leta 1968, je bila tudi Lagrangeova identiteta vektorjev. Takole se glasi

\[(\vec{a} \times \vec{b})\cdot (\vec{c} \times \vec{d})=(\vec{a}\cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{a}\cdot \vec{d})(\vec{b}\cdot \vec{c}).\]

Identiteto smo dokazali po srednješolsko tako, da smo vektorje zapisali v ortonormirani bazi. Dosti pisanja, a tudi dobrodošla vaja. Leva stran je enaka

$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot(\vec{c}\times \vec{d})=((a_1,a_2,a_3)\times (b_1,b_2,b_3))\cdot ((c_1,c_2,c_3)\times (d_1,d_2,d_3))=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\cdot(c_2d_3-c_3d_2,c_3d_1-c_1d_3,c_1d_2-c_2d_1)= $ $=a_2b_3c_2d_3-a_2b_3c_3d_2-a_3b_2c_2d_3+a_3b_2c_3d_2+$ $+a_3b_1c_3d_1-a_3b_1c_1d_3-a_1b_3c_3d_1+a_1b_2c_1d_2+$ $+a_1b_2c_2d_1-a_2b_1c_1d_2-a_2b_1c_1d_2+a_2b_1c_2d_1.$

Desna pa

$(\vec{a}\cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d})-(\vec{a}\cdot \vec{d})(\vec{b}\cdot \vec{c})=$ $=(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)(b_1d_1+b_2d_2+b_3d_3)-(a_1d_1+a_2d_2+a_3d_3)(b_1c_1+b_2c_2+b_3c_3)=a_1b_1c_1d_1+a_1b_2c_1d_2+a_1b_3c_1d_3+a_2b_1c_2d_1+a_2b_2c_2d_2+a_2b_3c_2d_3+a_3b_1c_3d_1+a_3b_2c_3d_2+a_3b_3c_3d_3-a_1b_1c_1d_1-a_1b_2c_2d_1-a_1b_3c_3d_1-a_2b_1c_1d_2-a_2b_2c_2d_2-a_2b_3c_3d_2-a_3b_1c_1d_3-a_3b_2c_2d_3-a_3b_3c_3d_3.$

Primerjajmo obe strani, pa res ugotovimo enakost.