Hipokratovi luni

Povej, bistri bralec, kolikšna je skupna ploščina rumenih Hipokratovih lunic v animaciji? Stopaš po poti, ki so jo utrli Hipokrat iz Kiosa, ki je živel v 5. stol.pr.n.št. pa Alhazen okrog leta 1000 in tudi Leonardo da Vinci pet stoletij kasneje. Rezultat je skozi stoletja  vzbujal modrecem  upanje , da je kvadratura kroga morda možna….

Več pa lahko zveš v naslednjem članku. Kolikšna pa je ploščina spodnjih rumenih lun?

Potenca točke na krožnico

 

Imejmo  v ravnini krožnico K s središčem S in polmerom r ter poljubno točko O.  Potenca točke je definirana takole:

Def.:Potenca \mathcal{P}(O,\mathcal{K})[ točke O na krožnico \cal{K} je število \overrightarrow{OS}\cdot\overrightarrow{OS}-r^2.   Torej

\mathcal{P}(O,\mathcal{K})=\overrightarrow{OS}\cdot\overrightarrow{OS}-r^2.

Vidimo, da je zaloga vrednosti te preslikave enaka  \left [-r^2,\infty \right ). Točke izven kroga, ki ga omejuje krožnica \mathcal{K}, imajo potenco pozitivno, tiste znotraj pa negativno.

[embedit cf=”“]

Dokaz: Opazimo, da sta trikotnika OAD in OCB podobna, saj imata en kot skupen, drugi par kotov pa ima za zumanja obodna kota nad istim lokom.  Zato velja sorazmerje med enakoležnimi stranicami

\frac{\overline{OA}}{\overline{OC}}=\frac{\overline{OD}}{\overline{OB}},
od tod pa sledi iskana enakost.

Tangente

Tangenta iz točke na krožnico.

Dana sta točka A in krožnica s središčem S.  Naša naloga je narisati tangento na krožnico skozi točko A. Ločimo dva primera: ko je točka A na krožnici in ko je točka A izven kroga.  V prvem primeru je tangenta premica, ki je pravokotnica na polmer SA. V drugem primeru pa je konstrukcija nekoliko daljša, njeno bistvo je najti točki na krožnici,  ki sta dotikališči tangent. Nalogo lahko rešimo na več načinov, dva sta znana še iz antike. Prvi pripada Talesu iz Mileta (Mala Azija) iz okrog 600 pr.n.št:

Drugi način pa pripada Evklidu iz Aleksandrije (Egipt) okoli 300 pr.n.št.

Na krožnici si poljubno izberemo točko t in skoznjo potegnemo tangento. Nato narišemo krožnico (S,P), ki seka tangento v točkah M in N. Nazadnje skozi P narišemo krožnico s polmerom TM. Le-ta seka prvotno krožnico v iskanih dotikališčih tangent.

Orodje za dinamično geometrijo Geogebra omogoča konstrukcijo tangente direktno, saj vsebuje gumb za to. Lahko pa tudi najprej narišemo polaro – njeni presečišči s krožnico sta dotikališči tangent.

 

Ali nas Pitagorov izrek lahko preseneti?

Pitagorov izrek poznamo vsi še iz osnovne šole. Kljub temu  nas spodnji prikaz utegne presenetiti.

 

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org – it looks like you don’t have Java installed, please go to www.java.com

Vincenc Petruna, Created with GeoGebra

  • Ustavi animacijo in preveri, ali je vsota ploščin enakostraničnih trikotnikov nad katetama pravokotnega trikotnika enaka ploščini enakostraničnega trikotnika nad hipotenuzo.
  • Preveri še, ali to velja tudi za pravilne petkotnike in šestkotnike.
  • Ali trditev velja za poljubne pravilne n-kotnike?
  •  Ali velja celo za kroge s premeri, ki so enaki stranicam trikotnika?
  • Utemelji svoje trditve tudi z računom.

Utripanje

Vsota nihanj z enakima amplitudama in podobnima frekvencama da utripanje. Opazimo ga lahko, če sklopimo nihali s podobnima nihajnima časoma ali če frekvenco enega kraka glasbenih vilic nekoliko spremenimo, pa tudi pri uglaševanju strun kitare ali kakega drugega glasbenega instrumenta.