Zapiski iz elektrostatike

Izbrano

uvod

Včasih je bila pri pouku matematike in fizike v srednji šoli (beri gimnaziji) navada, da je vsa ali vsaj večina obravnavane snovi pri matematiki temeljila na izpeljavi, pri fiziki pa na poskusih, ki so potrdili naravne zakone, in izpeljavah iz teh poskusov.  Z leti pa se je marsikaj spremenilo. Predvsem se je na ladjo gimnazija vkrcalo približno štirikrat več potnikov kot prej.  Le-tem se je izpeljevanje zdelo duhamorno, matematika in fizika pa (pre)težka predmeta. Oblasti so pričele iskati možnosti poenostavitve programov in to počnejo še sedaj.  Tako so npr. izpeljave iz fizike skoraj izginile, nadomestilo jih je piflanje formul. Posledica vseh teh prenov je,  da naloge iz nekdanjih matur reši le peščica dijakov.  Uvajajo se nove nepreverjene oblike, kot so timski pouk z več učitelji v razredu, ki so zapravljanje davkoplačevalskega denarja, saj bi moral po mojem mnenju povezovanje med predmeti. izvajati učitelj sam.  Resne evalvacije teh posodobitev nisem zasledil.

V spodnjem prispevku želim prikazati  možno povezavo med matematiko in fiziko. Potrebno predznanje so vektorji, sile in električno polje.

 Električni pretok

Imejmo v prostoru električno polje E in ploskev S.  Silnice električnega polja prebadajo ploskev, zato uvedemo električni pretok \Phi_e, ki je odvisen od jakosti električnega polja \vec{E}, velikosti S in kota \varphi med pravokotnico (normalo) na S in silnicami polja.

Screen Shot 08-26-15 at 11.40 AM

Torej

\Phi_e=\epsilon_o ES\cos{\varphi},\qquad (\frac{As}{Vm}\cdot\frac{V}{m}\cdot m^2=As)

pri čemer je \epsilon_o influenčna konstanta. Če priredimo ploskvi S vektor \vec{S}, ki ima velikost  S in smer normale na S, lahko zgornjo definicijo zapišemo bolj kompaktno kot skalarni produkt

\Phi_e=\epsilon_o\vec{E}\cdot\vec{S}.

Električni pretok točkastega naboja skozi koncentrično kroglo

Ugotovimo sedaj, kolikšen je električni pretok \Phi_e skozi kroglo polmera r, ki ima v središču točkast naboj e. Naj bo predznak naboja pozitiven, Ker je jakost električnega polja v okolici tega naboja vektor, moramo določiti njegovo velikost in smer. Oboje ugotovimo tako, da po prostoru okrog tega naboja premikamo (majhen) pozitivni testni naboj e_t in iz smeri električne sile ugotavljamo smer vektorja \vec{E}, pomočjo Couloumbovega zakona pa njegovo velikost

Velja namreč

E=\frac{F_e}{e_t}=\frac{ee_t}{4\pi\epsilon _or^2e_t}=\frac{e}{4\pi\epsilon _or^2}.

Vidimo torej, da imajo silnice električnega polja pozitivnega točkastega naboja radialno smer navzven in da jakost tega polja pada s kvadratom razdalje od naboja.

Razdelimo sedaj celotno našo kroglo, v kateri je zaprt naboj, na majhne ploskvice \overrightarrow{dS}.  To so vektorji, ki imajo smer pravokotno na posamezno ploskev,  velikost pa imajo enako ploščini te ploskve. Električni pretok d\Phi_e skozi eno tako ploskev znaša torej

d\Phi_e=\epsilon_o\vec{E}\cdot\overrightarrow{dS}=\epsilon_oEdS.

Pri računanju zgornjega sakalrnega produkta smo upoštevali, da silnice električnega polja prebadajo celotno površino krogle pravokotno, zato sta sta \vec{E} in pripadajoči \overrightarrow{dS} za vse ploskvice kolinenarna.

Električni pretok \Phi_e skozi celotno kroglo bomo dobili, če seštejemo  električne pretoke d\phi_e skozi vse ploskve \overrightarrow{dS}.  Pri seštevanju majhnih količin je navada, da vsoto označimo z znakom \int, ki mu pravimo tudi integralski znak, celoten izraz pa imenujemo integral.

Torej

\Phi=\int\limits_{S}d\Phi_e=\epsilon_o\int\limits_{S}\vec{E}\cdot\overrightarrow{dS}=\epsilon_o\int\limits_{S}EdS=

Upoštevajmo, da je velikost lakosti električnega polja skozi vse ploskvice enaka, pa dobimo:
=\epsilon_o \frac{e}{4\pi \epsilon_o r^2}\int\limits_{S}\overrightarrow{dS}=\epsilon_o \frac{e}{4\pi \epsilon_o r^2}\cdot 4\pi r^2=e.

Nazadnje smo upoštevali, da lahko E izpostavimo pred  vsoto in da je vsota ploščin vseh ploskvic enaka površini celotne krogle.

Naš ugotovitev je torej naslednja: Električni pretok točkastega naboja skozi kroglo, ki ima ta naboj v središču, je kar enak vsebovanemu naboju,.

zakon o električnem pretoku

Karl Friderik Gauß je to ugotovitev še dopolnil takole: Električni pretok skozi poljubno zaprto ploskev je enak vsoti nabojev znotraj te ploskve. (Zakon o električnem pretoku.)  zakon je v elektriki zelo pomemben, je prva od štirih Maxwellovih enačb. Povemo ga lahko na različne načine, morda najpreprostejša oblika je naslednja: Izviri (in ponori) električnega polja so naboji.

Primeri uporabe

Zakon o električnem pretoku nam omogoča preprosto izračunati jakost električnega polja v nekaterih primerih, seveda če si pametno izberemo zaprto ploskev v kateri je naboj. Poglejmo primere.

JAKOST ELEKTRIČNEGA POLJA nabite prevodne krogle

Prevodno kroglo nabijemo s pozitivnim nabojem. Naboj se porazdeli enakomermo po površini krogle tako, da imajo silnice električnega polja radialno smer in na vsej površini krogle enako velikost. Najprej določimo njegovo jakost zunaj krogle:

Screen Shot 07-27-15 at 07.13 PM

Zapišemo torej zakon o električnem pretoku za ta primer:

\Phi_e=\epsilon_o\int\limits_S\vec{E}\cdot\overrightarrow{dS}=\epsilon_oE\int\limits_SdS=\epsilon_oE\cdot 4\pi r^2=e,

od koder sledi

E=\frac{e}{4\pi \epsilon_or^2.}

Kaj pa znotraj krogle?

Screen Shot 07-27-15 at 07.14 PM

Sedaj pa je

\Phi_e=\epsilon_o\int\limits_S\vec{E}\cdot\overrightarrow{dS}=0,

saj znotraj naše krogle ni naboja. To pa gre le, če je E=0.

Za električno polj nabite prevodne krogle velja torej

E=\begin{cases}\frac{e}{4\pi\epsilon_or^2} &\mbox{;}\qquad r\geq R\\0&\mbox{;}\qquad r<R\end{cases}

 

Jakost električnega polja neskončne nabite plošče

Vzemimo sedaj veliko nabito kovinsko ploščo površine S_o, na katero pretočimo (pozitivni) naboj e. SIlnice na sredini plošče so  vzporedne in neako goste, pravimo, da je tako polje homogeno. Uvedemo gostoto naboja \sigma kot naboj, vsebovan na enoti ploskve, torej

\sigma=\frac{e}{S} \qquad (\frac{As}{m^2})

Ploskev, v katero sedaj zapremo del naboja, pa naj bo zaradi oblike polja kvader s stranicami 1,2,3,4, sprednjo 5 in zadnjo 6.

Screen Shot 07-28-15 at 08.39 AMElektrični pretok skozi celotno ploskev je enak tistemu skozi posamezne ploskve tega kvadra in znaša

\Phi_e=\epsilon_o\int\limits_S\vec{E}\cdot\overrightarrow{dS}=\epsilon_o\int\limits_1EdS+\epsilon_o\int\limits_2EdS+\epsilon_o\int\limits_30dS+\epsilon_o\int\limits_40 dS+\epsilon_o\int\limits_50dS+\epsilon_o\int\limits_60dS=e=\sigma S.

Pri tem je S osnovna ploskev kvadra. Upoštevali smo, da je na nekaterih ploskvah skalarni produkt 0. Dobimo torej

2\epsilon_oES=\sigma S

in rezultat

E=\frac{\sigma}{2\epsilon_o}.

jakost električnega polja znotraj neskončnega ploščatega kondenzatorja

Nazadnje izračunajmo še jakost električnega polja velikega ploščatega kondenzatorja, na katerem je naboj s ploskovno gostoto naboja \sigma.  Polje prikazuje spodnja skica, vidimo, da je razen ob robovih plošč to polje spet homogeno.

Screen Shot 07-30-15 at 10.45 AM

Del pozitivne plošče spet zapremo v kvader z osnovno ploskvijo S, nato pa tako kot prej računamo električne pretoke skozi njegove stranice. Dobimo

\Phi_e=\epsilon_o\int\limits_S\vec{E}\cdot\overrightarrow{dS}=\epsilon_o\int\limits_10dS+\epsilon_o\int\limits_2EdS+\epsilon_o\int\limits_30dS+\epsilon_o\int\limits_40 dS+\epsilon_o\int\limits_50dS+\epsilon_o\int\limits_60dS=e=\sigma S,

torej

2\epsilon_oES=\sigma S

in nazadnje

E=\frac{\sigma}{\epsilon_o}.

Zaključek

Zgornji primeri kažejo, kako se da tudi v srednji šoli uporabiti povezati fiziko z matematiko. Če se vektorji pri matematiki jemljejo v drugem letniku, elektrika pri fiziki v tretjem in integrali v četrtem (v Križaničevih učbenikih so se v drugem!), lahko fizik v tretjem letniku uporabi matematično znanje iz drugega, obenem pa leto pred matematično obravnavo poda predstavo o določenem integralu in te preproste primere tudi izračuna.