O eksponentni rasti(2)

V srednji šoli obrazca za eksponentno rast ne izpeljemo iz diferencialne enačbe $dy=kydt$ pri začetnem pogoju $y(0)=y_o$, saj diferencialnih enačb še ne poznamo. Pomagamo si z obrazcem za obrestno obrestovanje kapitala  $y_o$ s p procentno letno obrestno mero v n letih in k kapitalizacijah letno. Kapital po n letih oziroma nk obrestovalnih obdobjih je torej

$$y_n=y_0\left(1+\frac{p}{100k}\right)^{nk} $$

Pri neprestani kapitalizaciji ( $k\to\infty$) je

$$y=\lim_{k\to\infty}y_0\left(1+\frac{p}{100k}\right)^{nk}=$$

$$=\lim_{k\to\infty}y_0\left(1+\frac{1}{\frac{100k}{p}}\right)^{\frac{100k\cdot pn}{p\cdot100}}$$.

Upoštevamo zgoraj  znano definicijo Eulerjevega števila $$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} ,$$

pa dobimo iskani izraz

$$y=y_oe^{\frac{pn}{100}}.$$

Sedaj lahko pridemo do prvega Bartlettovega obrazca. Upoštevajmo $y=2y_o,$  pa dobimo iz zgornjega obrazca

$$2=e^{\frac{pn}{100}}. $$

Še logaritmirajmo zvezo in izrazimo n, pa dobimo

$$n=\frac{100\ln{2}}{p}. $$

Ker je $\ln2=0,6931, $ je $100\ln2=69,31 $, kar se od 70 v Bartlettovem obrazcu razlikuje za manj kot procent.  Torej je1.Bartlettov obrazec

$$t_2\doteq \frac{70}{p}$$

zelo dober približek za podvojitveni čas pri eksponentni rasti.

Do  2. Bartlettovega obrazca (povečanju količine v 70 letih) pa pridemo takole:

Velikost spremenljivke y po 70 letih je

$$ y(70)=y_oe^{\frac{p\cdot 70}{100}}=y_oe^{\frac{p\cdot 7}{10}}$$

Zapišimo to z eksponentno funkcijo  z osnovo 2

$$ y(70)=y_oe^{\frac{p\cdot 7}{10}}=y_o2^u.$$

in določimo u. Krajšajmo in logaritmirajmo to zvezo, pa dobimo

$$ \frac{7p}{10}=u\ln2.$$

Izrazimo od tod u, pa dobimo

$$ u=\frac{7p}{10\ln2}$$,

kar se samo za 1% razlikuje od p. Tako smo torej pridelali uporaben in kar natančen obrazec

$$ y(70)\doteq y_o2^p.$$

O eksponentni rasti

Kljub temu, da pri nas spoznamo eksponentno funkcijo v srednji šoli, običajni ljudje nimajo prave predstave o njej. Število zrn žita, postavljenih na zadnje polje šahovske plošče, skoraj vsakega preseneti.  Sorazmerno dobro si predstavljamo linearno funkcijo  in linearno rast ali upadanje, medtem ko izraze, kot so npr.  “3 procentna rast na leto” ali celo “7 procentne obresti na letni ravni”  marsikdo ne razume ali pa zamenja z linearno rastjo.

A  Američani so praktični. Namesto strogih obrazcev in preciznih izpeljav  ponujajo približne obrazce za eksponentno rast, ki pa k njenem razumevanju bistveno pripomorejo. Tako lahko najdete v spletnem predavanju profesorja Alberta Bartletta dva obrazca,  sorazmerno neznana našim šolarjem:

S prvim računajo  podvojitveni čas $t_2 $ količine, torej čas, v katerem se količina pri taki rasti podvoji. Njegov obrazec je glasi takole:

$$t_2\doteq \frac{70}{p}, $$

pri čemer je p odstotek rasti rasti količine v enoti časa. Če je torej  $p=3\%/leto $, je $t_2=23let, $  če pa je $p=7\%/leto $, je podvojitveni čas že $t_2=10 let. $

Drugi obrazec pa govori o povečanju količine, ki eksponentno raste z letno stopnjo $ p$ v 70 letih, kar je približno obdobje človeškega življenja.  Če je $y $ vrednost  neke količine na začetku, $y_{70} $ vrednost te količine po 70 letih, $ p $ pa letna  stopnja rasti, potem ta  približni obrazec pravi

$$y_{70}\doteq y_o2^{p} $$

Pri letni rasti 3% se količina v 70 letih torej količina poveča osemkrat, pri letni rasti 7% pa kar 128-krat.

V nadaljevanju bomo pogledali, kako te zanimive in uporabne obrazce izpeljemo in kako dobri približki so.