PTR v srednji šoli(10)

povečanje mase

Zadnjič smo ugotovili, da so dogodki, kot jih izmerita postajenačelnik in sprevodnik, štiri razsežni vektorji v prostoru-času. Če upoštevamo, da se koordinati y in z, ki sta prečni na gibanje vlaka, ne spreminjata, zadošča, da pišemo samo dvorazsežne vektorje, torej

\[\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}\]     in     \[\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\end{bmatrix}\]

Tudi druge količine nastopajo v PTR v parih. Hitrost,  kot jo izmeri postajenačelnik, je npr. odvod dogodka po času, torej

\[\begin{bmatrix}\dot{ct}\\\dot{x}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\\v\end{bmatrix}\]      in     \[\begin{bmatrix}\dot{ct^\prime}\\\dot{x^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\\v^\prime\end{bmatrix}.\]

Ravno tako zapišemo gibalno količino v obeh sistemih

\[\begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}\]      in      \[\begin{bmatrix}{G_o^\prime}\\{G^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}m^\prime c\\m^\prime v^\prime\end{bmatrix}.\]

Vemo že, da  dogodka tudi gibalni količini, ki ju  izmerita sprevodnik in postajenačelnik, vežeta Lorentzovi transformaciji

\[
\begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}G_o^\prime\\G^\prime\end{bmatrix}
\]

Opazujmo telo, ki se pelje v vlaku in miruje glede na sprevodnika, tako da on izmeri lastno maso telesa

\[m^\prime=m_o\]

Njegova gibalna količina je za postajenačelnika

  \[\begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}\],

za sprevodnika pa

\[\begin{bmatrix}{G_o^\prime}\\{G^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}m_o c\\0\end{bmatrix}.\]

Vstavimo to v Lorentzove transformacije, pa dobimo

\[
\begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}m_oc\\0\end{bmatrix}
\]

Prva vrstica nam da

\[mc=\frac{m_oc}{\sqrt{1-\beta^2}},\]

druga pa

\[mv=\frac{\beta m_oc}{\sqrt{1-\beta^2}}.\]

Upoštevajmo v obeh relacijah, da je

\[\beta=\frac{v}{c},\]

pa dobimo obakrat

\[m=\frac{m_o}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.\]

Masa delca se torej poveča za vse opazovalce, ki ne mirujejo glede nanjo. Povečanje je skladno z relativističnim faktorjem, svetlobni hitrosti bi ustrezala naskončna masa delca. Posledica tega je, da delec, ki mirovno maso ima, ne more doseči svetlobne hitrosti.

Tako se lahko s svetlobno hitrostjo lahko gibljejo samo delci brez mirovne mase, npr. fotoni. Vendar se delci z mirovno maso, kot so npr. elektroni ali protoni, lahko, če imajo dovolj energije (npr. v pospeševalnikih) tej hitrostil zelo približajo.

PTR v srednji šoli(9)

Lorenzove transformacije lahko zapišemo v kompaktnejši matrični obliki:

\[
\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\end{bmatrix}
\]

V njej nastopa Lorenzova matrika

\[
\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}&\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}\\\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}&\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
\end{bmatrix}\quad\quad\quad(1)
\]

Prvo koordinato v levem vektorju enačbe (1) dobimo tako, da skalarno pomnožimo 1. vrstico matrike z desnim vektorjem in podobno tudi 2. koordinato. Pred matriko je relativistični faktor.

Opazimo, da se s svetlobno hitrostjo c pomnoženi čas v zapisu obnaša tako kot koordinata x. Če pišemo še koordinati y in z, ki sta prečni na smer gibanja, dobimo

\[
\begin{bmatrix}
ct\\x\\y\\z
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\gamma& \gamma\beta&0&0\\\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
ct^\prime\\x^\prime\\y^\prime\\z^\prime\end{bmatrix}
\]

Seveda tudi tu velja, da dobimo i-to komponento levega vektorja tako, da skalarno pomnožimo i-to vrstico matrike z desnim vektorjem. Še obratna Lorenzova transformacija:

\[
\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\\y^\prime\\z^\prime
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\gamma& -\gamma\beta&0&0\\-\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z
\end{bmatrix}
\]

Relacije nam ponujajo odgovor na vprašanje, kaj je čas. Čas je pač ena od koordinat štirirazsežnega prostora-časa. Vektorju

\[
\begin{bmatrix}
ct\\x\\y\\z
\end{bmatrix}\]

pravimo dogodek  v prostoru- času. Lorentzove transformacije nam pomagajo preračunavati dogodke iz enega v drug inercialni sistem v prostoru-času.

PTR v srednji šoli(4)

NOVE TRANSFORMACIJE

Iščemo torej linearno transformacijo, ki prevede točko $(u,v)$ v točko $(u^\prime,v^\prime)$ tako, da  velja zveza
$$u^{\prime 2}-v^{\prime 2}=u^2-v^2.$$
Ker je transformacija linearna,  jo iščemo v obliki
$$u=Au^\prime +Bv^\prime \qquad v=Cu^\prime +Dv^\prime ,$$
pri čemer so A, B,C in D konstante, ki jih je treba določiti. Vstavimo zato te transformacije v zgornjo enačbo, pa dobimo
$$(Au^\prime+Bv^\prime )^2-(Cu^\prime+Dv^\prime )^2=u^{\prime2}-v^{\prime 2}.$$
Po kvadriranju in primerjanju koeficientov dobimo naslednje enačbe
$$A^2-C^2=1,\quad AB=CD, \quad C^2-D^2=-1.$$
Imamo torej tri enačbe in štriri neznanke. Zato uvedemo parameter
$$\beta=\frac{C}{A}=\frac{B}{D}$$
ter z njim izrazimo vse koeficiente. Dobimo
$$A=D=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad B=C=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}$$
Iskane transformacije so torej
$$u=\frac{u^\prime+\beta v^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad v=\frac{\beta u^\prime+v^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},$$
obratne transformacije pa
$$u^\prime=\frac{u-\beta v}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad v^\prime=\frac{-\beta u+v}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$
Naslednjič pa jim bomo dali fizikalni pomen.

PTR v srednji šoli(3)

Oba inercialna sistema so povezovale Galilejeve transformacije, a te smo v zadnjem poglavju razglasi za neveljavne. Potrebujemo torej nove transformacije.

Vprašamo se, ali je kaj, kar opišeta enako oba,  sprevodnik in postajenačelnik.  Odgovor nam spet prinese naslednji miselni poskus:

Mislimo si, da se vlak s sprevodnikom približuje postajenačelniku. Koordinatna sistema obeh imata vzporedne osi, vlak in z njim gibajoći se koordinatni sistem pa se giblje  v smeri  postajenačelnikove x-osi.  V trenutku, so oba koordinatna sistema pokrijeta, na vlaku zasveti okrogla luč..  Sprevodnik  opiše svetlobo kot krogelni val, ki se širi s hitrostjo svetlobe c na vse strani, torej

\[x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=c^2t^{\prime 2}.\].

Postajenačelnik pa val opiše podobno, a v svojih koordinatah

\[x^{2}+y^{2}+z^{ 2}=c^2t^{2}.\]

Vidimo torej, da sta opisa enaka. Velja torej

\[x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}=x^{2}+y^{2}+z^{ 2}-c^2t^{2}.\].

Ker se vlak giblje prečno na koordinate \[y,y^\prime, z, z^\prime,\] je

\[y=y^\prime,\quad z=z^\prime,\]

pa se zgornja zveza še poenostavi v

\[x^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}=x^{2}-c^2t^{2}.\].

Iščemo torej linearno transformacijo, ki bo zadostila zgornji enačbi.

PTR v srednji šoli (2)

Morda ste uganili, kaj je bilo treba prečrtati – Galilejeve transformacije. Na prvi pogled je nenavadno, da ne veljajo enačbe, ki so se do takrat izkazale za dobro preizkušene. A vendar imamo sedaj razmere, ki so posebne – zelo velike hitrosti. Hitrosti, ki niso majhne v primeri s hitrostjo svetlobe.  Galilejeve transformacije dobro veljajo pri majhnih hitrostih, pri ekstremnih hitrostih pa odpovejo.

Če Galilejeve transformacije ne veljajo več, potem čas ni več absoluten, temveč relativen – odvisen od opazovalnega sistema.  To pa ima v primerjavi z dosedašnjim gledanjem na svet nenavadne posledice. Oglejmo si eno od njih v naslednjem (miselnem) poskusu:

SOČASNOST JE RELATIVNA

Imejmo vlak, ki je zelo dolg in se zelo hitro giblje. Njegova dolžina naj bo 300.000km, njegova hitrost pa  4c/5. Vlak ima dvoje vrat, ki se odpirata takrat, ko žarek svetlobe iz žarnice na sredini vlaka posveti na fotocelico na vratih. Sprevodnik stoji na sredini vlaka in s stikalom odpira vrata. Ker vrata  glede na sprevodnika mirujejo, le-ta opiše odpiranje vrat takole: Od trenutka, ko posveti žarnica potuje svetloba proti zadnjim vratom in po

\[t_1=\frac{150000km\cdot s}{300000km}=0,5s\]

se le-ta odprejo. Ravno tako ponovi račun za odpiranje prvih vrat

\[t_2=\frac{150000km\cdot s}{300000km}=0,5s.\]

Oba časa sta enaka, za sprevodnika se oboja vrata torej odprejo sočasno.

Dogajanje na drvečem vlaku pa opazuje tudi postajenačelnik, ki vidi dogajanje  nekoliko drugače : Medtem, ko potuje svetloba s hitrostjo c proti zadnjim vratom, se ji le-ta približujejo s hitrostjo 4c/5. Zato se zadnja vrata odprejo po času

\[t_1=\frac{150000km\cdot s}{300000km+240000km}=\frac{5}{18}s,\]

prva vrata pa se žarku odmikajo, zato je

\[t_2=\frac{150000km\cdot s}{300000km-240000km}=2,5s.\]

Postajenačelniku se torej vrata ne odprejo istočasno, zadnja vrata se odprejo prej kot prva. Dogodka, ki sta sočasna v enem opazovalnem sistemu, nista sočasna v drugem. Pravimo, da je sočasnost dogodkov relativna, torej odvisna od opazovalnega sistema.

PTR v srednji šoli

Posebna teorija relativnosti v srednji šoli -uvod

Imel sem srečo, sam sem to teorijo v šolskem letu 1970/71 kot dijak  Gimnazije Črnomelj slišal kar dvakrat. Matematik Marjan Skrbinšek jo je povzel po učbeniku Franceta Križaniča Atirmetika, algebra in analiza, za moj okus najboljšem slovenskem učbeniku matematike do sedaj. Fizik Jože Pavlišič pa je pri fizikalnem krožku ubral bolj fizikalni pristop, ki je temeljil na takrat pravkar izšli Sigmini knjižici Janeza Strnada Relativnost.  Skoraj dve desetletji kasneje sem imel to poglavje priliko spet slišati pri Ivanu Kuščerju v okviru predmeta Osnove klasične fizike na tretji stopnji pedagoške fizike, Janez Strand pa ji je namenil tudi eno od poglavij v Učbeniku Fizika za družboslovce, ki se je uporabljal v okviru usmerjenega izobraževanja. Kasneje je kot celota iz učbenikov izginila, v fiziki se uporablja le še pri obravnavi energije delcev.

STR se mi zdi pomembna, saj dijaku odpre nove poglede na svet okrog nas in ponuja odgovor ena nekatera temeljna vprašanja.. Zato jo poskušam prenesti dijakom v obliki, o kateri nameravam pisati v nadaljevanju.

Temelji fizike na začetku 20. stoletja

Klasična fizika je v tistem času temeljila na naslednjih načelih:

  1. Prostor je izotropen in homogen. Homogenost prostora pomeni, da je izid fizikalnega poskusa neodvisen od tega, kje ga izvajamo, izotropnost pa, da je za izid vseeno, kako je merilna priprava zasukana.
  2. Čas je homogen. Izid fizikalnega poskusa je torej neodvisen od tega, kdaj poskus izvajajmo. Fizikalni poskusi so torej ponovljivi in v enakih okoliščinah pričakujemo enak rezultat.
  3. Vsi inercialni sistemi so enakovredni.  Ker fizik meri, potrebuje koordinatni sistem in uro. Tak sistem je lahko glede na okolico mirujoč, lahko pa se giblje glede na njo s hitrostjo [math]v_o[/math] , npr. ladja glede na obalo. Sistem je inercialen, če se glede na okolico giblje nepospešeno, torej premo enakomerno.  To načelo torej pove, da so izidi poskusov v vseh nepospešenih sistemih (npr. na kopnem ali na enakomerno ploveči ladji) enaki.
  4.   Oba inercialna sistema vežejo Galilejeve transformacije.Te transformacije povezujejo  meritve, ki jih je opravil opazovalev v mirujočem se sistemu, z meritvami tistega  v gibajočem se sistemu.  Ivan Kuščer je to ponazoril kar z vlakom, ki pelje mimo postajenačelnika s hitrostjo  $v_o$. Postajenačelnik in sprevodnik na vlaku merita  koordinato  in čas potnika, ki se iz zadnjega vagona giblje proti strojevodji . Postajenačelnik nameri  x in t, sprevodnik pa x’ in t’. Galilejeve transformacije pravijo

    \[t=t^\prime,\quad x=x^\prime+v_0t^\prime\]

    Oba opazovalca torej merita isti čas (ali čas je absoluten),  Postajenačelnik izmeri hitrost potnika v, sprevodnik pa v’. Zveza med obema hitrostima sledi iz Galilejevih transformacij takole

    \[ v=\frac{x}{t}=\frac{x^\prime+v_ot^\prime}{t^\prime}=v^\prime+v_o.\]

    Primer: Če vozi vlak s hitrostjo 20km/h, potnik pa s giblje proti strojevodji s hitrostjo 5km/h glede na vlak, bo postajenačelnik nameril za potnikovo hitrost 25km/h.

  5. Hitrost svetlobe je v vseh inercialnih sistemih enaka. Z drugimi besedami, hitrosti se ne da pospeševati ne zavirati. To načelo o svetlobni hitrosti je rezultat Michelsonon-Morleyevega poskusa v 80.letih 19. stoletja.

Njun poskus je imel namen izmeriti hitrost Zemlje pri svojem gibanju okrog Sonca glede na eter – namišljeno snov, ki zapolnjuje vesolje in so jo takratni fiziki potrebovali kot sredstvo, po katerem se širi elektromagnetno valovanje, torej tudi svetloba.  Primerjala sta hitrost  svetlobe iz smeri, v katero se je Zemlja gibala, in hitrost svetlobe iz smeri pravokotno na gibanje.  Meritev, ki bila izredno natančna, sta ponavljala skoraj celo desetletje, rezultat pa je bil vsakič 0. Obe hitrosti sta bili torej enaki. Njun poskus je pomenil, da ima svetloba v gibajočem se sistemu enako hitrost kot svetloba v mirujočem (pravokotnem na gibanje) sistemu, posledično pa tudi konec teorije o etru.

Očitno so načela med seboj v protislovju, kar nam pokaže naslednji (namišljen) poskus:

Predstavljajmo si, da sprevodnik  zajaha svetlobni žarek in se na njem pelje mimo postajenačelnika s hitrostjo c. V roki pa drži baterijo in z njo posveti   v smeri hitrosti vožnje. Kolikšna je hitrost svetlobe iz baterije za postajenačelnika?

Odgovor nam da seštevanje hitrosti po Galilejevih transformacijah

\[ v=v^\prime+v_o=c+c=2c.\]

Rezultat  pa je očitno v nasprotju z načelom o svetlobni hitrosti, saj hitrost ne bi smela presegati c.

Kljub temu, da bilo  nekaj poskusov razrešitve tega protislovja pred A. Einsteinom, je moral priti prav on, da je eno od načel prečrtal. Če bi bili na njegov mestu, katerega bi prečrtali vi?