povečanje mase
Zadnjič smo ugotovili, da so dogodki, kot jih izmerita postajenačelnik in sprevodnik, štiri razsežni vektorji v prostoru-času. Če upoštevamo, da se koordinati y in z, ki sta prečni na gibanje vlaka, ne spreminjata, zadošča, da pišemo samo dvorazsežne vektorje, torej
\[\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}\] in \[\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\end{bmatrix}\]
Tudi druge količine nastopajo v PTR v parih. Hitrost, kot jo izmeri postajenačelnik, je npr. odvod dogodka po času, torej
\[\begin{bmatrix}\dot{ct}\\\dot{x}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\\v\end{bmatrix}\] in \[\begin{bmatrix}\dot{ct^\prime}\\\dot{x^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\\v^\prime\end{bmatrix}.\]
Ravno tako zapišemo gibalno količino v obeh sistemih
\[\begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}\] in \[\begin{bmatrix}{G_o^\prime}\\{G^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}m^\prime c\\m^\prime v^\prime\end{bmatrix}.\]
Vemo že, da dogodka tudi gibalni količini, ki ju izmerita sprevodnik in postajenačelnik, vežeta Lorentzovi transformaciji
\[
\begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}G_o^\prime\\G^\prime\end{bmatrix}
\]
Opazujmo telo, ki se pelje v vlaku in miruje glede na sprevodnika, tako da on izmeri lastno maso telesa
\[m^\prime=m_o\]
Njegova gibalna količina je za postajenačelnika
\[\begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}\],
za sprevodnika pa
\[\begin{bmatrix}{G_o^\prime}\\{G^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}m_o c\\0\end{bmatrix}.\]
Vstavimo to v Lorentzove transformacije, pa dobimo
\[
\begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}m_oc\\0\end{bmatrix}
\]
Prva vrstica nam da
\[mc=\frac{m_oc}{\sqrt{1-\beta^2}},\]
druga pa
\[mv=\frac{\beta m_oc}{\sqrt{1-\beta^2}}.\]
Upoštevajmo v obeh relacijah, da je
\[\beta=\frac{v}{c},\]
pa dobimo obakrat
\[m=\frac{m_o}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.\]
Masa delca se torej poveča za vse opazovalce, ki ne mirujejo glede nanjo. Povečanje je skladno z relativističnim faktorjem, svetlobni hitrosti bi ustrezala naskončna masa delca. Posledica tega je, da delec, ki mirovno maso ima, ne more doseči svetlobne hitrosti.
Tako se lahko s svetlobno hitrostjo lahko gibljejo samo delci brez mirovne mase, npr. fotoni. Vendar se delci z mirovno maso, kot so npr. elektroni ali protoni, lahko, če imajo dovolj energije (npr. v pospeševalnikih) tej hitrostil zelo približajo.