Einstein | Vincenc Petruna, Slovenija

povečanje mase

Zadnjič smo ugotovili, da so dogodki, kot jih izmerita postajenačelnik in sprevodnik, štiri razsežni vektorji v prostoru-času. Če upoštevamo, da se koordinati y in z, ki sta prečni na gibanje vlaka, ne spreminjata, zadošča, da pišemo samo dvorazsežne vektorje, torej

$\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\end{bmatrix}$

Tudi druge količine nastopajo v PTR v parih. Hitrost, kot jo izmeri postajenačelnik, je npr. odvod dogodka po času, torej

$\begin{bmatrix}\dot{ct}\\\dot{x}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\\v\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}\dot{ct^\prime}\\\dot{x^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\\v^\prime\end{bmatrix}.$

Ravno tako zapišemo gibalno količino v obeh sistemih

$\begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}{G_o^\prime}\\{G^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}m^\prime c\\m^\prime v^\prime\end{bmatrix}.$

Vemo že, da dogodka tudi gibalni količini, ki ju izmerita sprevodnik in postajenačelnik, vežeta Lorentzovi transformaciji

$\begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}G_o^\prime\\G^\prime\end{bmatrix}$

Opazujmo telo, ki se pelje v vlaku in miruje glede na sprevodnika, tako da on izmeri lastno maso telesa

$m^\prime=m_o$

Njegova gibalna količina je za postajenačelnika

$\begin{bmatrix}G_o\\G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}$

za sprevodnika pa

$\begin{bmatrix}{G_o^\prime}\\{G^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}m_o c\\0\end{bmatrix}.$

Vstavimo to v Lorentzove transformacije, pa dobimo

$\begin{bmatrix}mc\\mv\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}m_oc\\0\end{bmatrix}$

Prva vrstica nam da

$mc=\frac{m_oc}{\sqrt{1-\beta^2}},$

druga pa

$mv=\frac{\beta m_oc}{\sqrt{1-\beta^2}}.$

Upoštevajmo v obeh relacijah, da je

$\beta=\frac{v}{c},$

pa dobimo obakrat

$m=\frac{m_o}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$

Masa delca se torej poveča za vse opazovalce, ki ne mirujejo glede nanjo. Povečanje je skladno z relativističnim faktorjem, svetlobni hitrosti bi ustrezala naskončna masa delca. Posledica tega je, da delec, ki mirovno maso ima, ne more doseči svetlobne hitrosti.

Tako se lahko s svetlobno hitrostjo lahko gibljejo samo delci brez mirovne mase, npr. fotoni. Vendar se delci z mirovno maso, kot so npr. elektroni ali protoni, lahko, če imajo dovolj energije (npr. v pospeševalnikih) tej hitrostil zelo približajo.

Lorenzove transformacije lahko zapišemo v kompaktnejši matrični obliki:

$\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\end{bmatrix}$

V njej nastopa Lorenzova matrika

$\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}&\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}\\\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}&\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \end{bmatrix}\quad\quad\quad(1)$

Prvo koordinato v levem vektorju enačbe (1) dobimo tako, da skalarno pomnožimo 1. vrstico matrike z desnim vektorjem in podobno tudi 2. koordinato. Pred matriko je relativistični faktor.

Opazimo, da se s svetlobno hitrostjo c pomnoženi čas v zapisu obnaša tako kot koordinata x. Če pišemo še koordinati y in z, ki sta prečni na smer gibanja, dobimo

$\begin{bmatrix} ct\\x\\y\\z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \gamma& \gamma\beta&0&0\\\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} ct^\prime\\x^\prime\\y^\prime\\z^\prime\end{bmatrix}$

Seveda tudi tu velja, da dobimo i-to komponento levega vektorja tako, da skalarno pomnožimo i-to vrstico matrike z desnim vektorjem. Še obratna Lorenzova transformacija:

$\begin{bmatrix}ct^\prime\\x^\prime\\y^\prime\\z^\prime \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \gamma& -\gamma\beta&0&0\\-\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z \end{bmatrix}$

Relacije nam ponujajo odgovor na vprašanje, kaj je čas. Čas je pač ena od koordinat štirirazsežnega prostora-časa. Vektorju

$\begin{bmatrix} ct\\x\\y\\z \end{bmatrix}$

pravimo dogodek v prostoru- času. Lorentzove transformacije nam pomagajo preračunavati dogodke iz enega v drug inercialni sistem v prostoru-času.

Vincenc Petruna, Slovenija

Scientia potentia est.

Arhiv Značk: Einstein

PTR v srednji šoli(10)

povečanje mase

PTR v srednji šoli(9)