Zadnjič smo izpeljali transformacije, ki ohranjajo razlike kvadratov koordinat točk. Uporabimo jih tokrat za preračunavanje meritev med postajenačelnikom in sprevodnikom na drvečem vlaku. Spomnimo se, proti postajenačelniku vozi vzdolž njegove x-osi vlak s hitrostjo v , ki ni majhna v primeri s hitrostjo svetobe c. Postajenačelnik meri čas t in koordinato x, njemu torej pripada urejen par (ct,x). Sprevodnik pa meri čas t’ in koordinato x’ vzdolž smeri gibanja, tako da mu pripada urejen par (ct’,x’). Čase v pomnožimo s konstanto c zato, da imata komponenti v urejenem paru enako enoto. Zadnjič smo videli, da se v vseh opazovalnih sistemih ohranja izraz:
$$x^2-ct^2=x^{\prime 2}-c^2t^{\prime 2}.$$
Uporabimo torej nove transformacije. Dobimo
$$ct^\prime=\frac{ct-\beta x}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x^\prime=\frac{-\beta ct+x}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$
Parameter [math]\beta[/math] je odvisen od hitrosti vlaka. Opazujmo točko, ki glede na sprevodnika miruje, torej x’=0. Iz zadnje zveze dobimo
$$x^\prime=0\Rightarrow x=\beta ct\Rightarrow \beta c=v.$$
$\beta$ je torej
$$\beta=\frac{v}{c}.$$
Upoštevajmo to v zgornjih zvezah, prvo tudi delimo z $c$, pa dobimo Lorentzovi formuli
$$t^\prime=\frac{t-(v/c^2)x}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x^\prime=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\beta^2}}$$
ter njuna obrata
$$t=\frac{t^\prime+(v/c^2)x^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x=\frac{x^\prime+vt^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$