Iščemo torej linearno transformacijo, ki prevede točko $(u,v)$ v točko $(u^\prime,v^\prime)$ tako, da  velja zveza

$$u^{\prime 2}-v^{\prime 2}=u^2-v^2.$$

Ker je transformacija linearna,  jo iščemo v obliki

$$u=Au^\prime +Bv^\prime \qquad v=Cu^\prime +Dv^\prime ,$$

pri čemer so A, B,C in D konstante, ki jih je treba določiti. Vstavimo zato te transformacije v zgornjo enačbo, pa dobimo

$$(Au^\prime+Bv^\prime )^2-(Cu^\prime+Dv^\prime )^2=u^{\prime2}-v^{\prime 2}.$$

Po kvadriranju in primerjanju koeficientov dobimo naslednje enačbe

$$A^2-C^2=1,\quad AB=CD, \quad C^2-D^2=-1.$$

Imamo torej tri enačbe in štriri neznanke. Zato uvedemo parameter

$$\beta=\frac{C}{A}=\frac{B}{D}$$

ter z njim izrazimo vse koeficiente. Dobimo

$$A=D=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad B=C=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}$$

Iskane transformacije so torej

$$u=\frac{u^\prime+\beta v^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad v=\frac{\beta u^\prime+v^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},$$

obratne transformacije pa

$$u^\prime=\frac{u-\beta v}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad v^\prime=\frac{-\beta u+v}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$

Naslednjič pa jim bomo dali fizikalni pomen.