Iščemo torej linearno transformacijo, ki prevede točko [math](u,v)[/math] v točko [math](u^\prime,v^\prime)[/math] tako, da  velja zveza

[math]u^{\prime 2}-v^{\prime 2}=u^2-v^2.[/math]

Ker je transformacija linearna,  jo iščemo v obliki

[math]u=Au^\prime +Bv^\prime \qquad v=Cu^\prime +Dv^\prime ,[/math]

pri čemer so A, B,C in D konstante, ki jih je treba določiti. Vstavimo zato te transformacije v zgornjo enačbo, pa dobimo

[math](Au^\prime+Bv^\prime )^2-(Cu^\prime+Dv^\prime )^2=u^{\prime2}-v^{\prime 2}.[/math]

Po kvadriranju in primerjanju koeficientov dobimo naslednje enačbe

[math]A^2-C^2=1,\quad AB=CD, \quad C^2-D^2=-1.[/math]

Imamo torej tri enačbe in štriri neznanke. Zato uvedemo parameter

[math]\beta=\frac{C}{A}=\frac{B}{D}[/math]

ter z njim izrazimo vse koeficiente. Dobimo

[math]A=D=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad B=C=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}[/math]

Iskane transformacije so torej

[math]u=\frac{u^\prime+\beta v^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad v=\frac{\beta u^\prime+v^\prime}{\sqrt{1-\beta^2}},[/math]

obratne transformacije pa

[math]u^\prime=\frac{u-\beta v}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad v^\prime=\frac{-\beta u+v}{\sqrt{1-\beta^2}}.[/math]

Naslednjič pa jim bomo dali fizikalni pomen.