Shrinivasa

Objavljeno ,

Ko prebiram delo indijskega matematika Shrinivase Ramanujana, ostajam osupel nekako tako kot ob pogledu na strop Sikstinske kapele in se spomnim na verz iz Župančičeve Dume:

...
kot da se niso rodili iz matere,
kot da goram se iz bokov izvili so
....

Zapisi trditev, ki jih je našel ta matematični genij brez formalne matematične izobrazbe (poguglajte, tudi njegov življenjepis je nekaj posebnega!), delujejo  kot nekaj izven zemeljskega, prej božanskega kot človeškega. Formule je velikokrat navajal brez dokazov in z njimi  osupljal  matematični svet zgodnjega 20. stoletja Lahko je bilo preveriti, da so njegove trditve resnične, a ostali matematiki so imeli polne roke dela, da so ugotovili, kako je Ramanujan prišel do njih.  Taka nam še razumljiva trditev je denimo

    \[\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\dots } } } }=3.\]

Izrazu zaporednih korenov na levi pravimo neskončni vgnezdeni radikal. Trditev lahko preverimo tako, da zračunamo nekaj zaporednih približkov, število približkov lahko bistveno povečamo strojno in ugotovimo, da je le-ta resnična. Toda, kako je Ramanujan prišel do nje?

Danes sem našel članek indijskega statističnega instituta, izdan ob obletnici Ramanujanovega rojstva. Naslovnica je pomenljiva
Za neskončnim vgnezdenim radikalom v naslovu je čudovita zgodba, ki se prične prav preprosto, namreč takole:
x+n=\sqrt{(x+n)^2}=\sqrt{n^2+x^2+2xn}=\sqrt{n^2+x(x+n+n)}       (1)
V rezultatu opazimo, da se je pod korenom znova pojavil izraz x+n, torej imamo možnost neskončnega ponavljanja – rekurzije. Nadaljujemo z zadnjim faktorjem v prejšnjem korenu

    \[x+2n=\sqrt{(x+2n)^2}=\sqrt{4n^2+x^2+4xn}=\sqrt{n^2+(x+n)(x+2n+n)},\]

    \[x+3n=\sqrt{(x+3n)^2}=\sqrt{9n^2+x^2+6xn}=\sqrt{n^2+(x+2n)(x+3n+n)},\]

in tako naprej.  Opravimo ustrezne zamenjave v zadnjih faktorjih korenov, pa iz (1) dobimo Ramanujanov obrazec

    \[x+n=\sqrt{n^2+x\sqrt{n^2+(x+n)\sqrt{n^2+(x+2n)\sqrt{\dots}}}}.\]

Za x=2 in n=1 nam ta obrazec res da

    \[\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\dots } } } }=3,\]

v obrazcu iz naslova članka pa je x=199 in n=1, gre torej za 120-letnico Ramanujevega rojstva.

Pa še naloga za vas: Izračunajte naslednji neskončni vgnezdeni radikal

    \[\sqrt{25+55\sqrt{25+60\sqrt{25+65\sqrt{25+\dots } } } }\]

Ta vnos je objavil Vinc v Matematika, Razno. Dodaj zaznamek do trajne povezave .

O Vinc

Končal gimnazijo v Črnomlju 1971, pričel honorarno poučevati na tej gimnaziji v šol.letu 1973/74, se v šol. letu 1976/77 zaposlil kot učitelj matematike, leta 1978 diplomiral iz pedagoške matematike pri dr. Niku Prijatelju s temo Galoisova teorija. Na gimnaziji in poklicni kovinarski šoli učil matematiko, fiziko in računalništvo ter informatiko, dokumentaristiko in arhivistiko. Dolgoletni mentor šahovskega, fotografskega, fizikalnega, računalniškega in<a \href{http://www2.arnes.si/48/sscrnomelj/astro.html}{ astronomskega} krožka. Absolvent 3. stopnje pedagoške fizike, v 90. letih član skupine za prenovo gimnazijske fizike, avtor programske opreme za merilno krmilni vmesnik, soavtor učbenikov za gimnazijo Fizika-Mehanika in Fizika-Elektrika. Mentor trinajstim raziskovalnim nalogam v okviru Gibanja Znanost mladini ter trem raziskovalnim nalogam v okviru Krkinih nagrad in številnim tekmovalcem iz logike, matematike, fizike in računalništva. Mentor \href{http://www2.arnes.si/48/ssnmcrnom5/sola/}{2. spletne strani šole}, pobudnik in od 2007 do 2010 urednik spletnih učilnic Srednje šole Črnomelj. Pobudnik šolske Facebook strani. Več najdete na njegovi \href{http://vincenc.petruna.com/}{spletni strani.}