Sangaku(4)

Objavljeno ,

Četrta japonska uganka je zelo lepa, a morda malo težja – ali pa tudi ne?

Določite polmer katerega od skladnih krogov, če je stranica kvadrata enaka 1. Določi tudi kot med poševnico skozi spodnje levo oglišče in osnovnico kvadrata.

Ta vnos je objavil Vinc v Geometrija in zaznamoval z , , . Dodaj zaznamek do trajne povezave .

O Vinc

Končal gimnazijo v Črnomlju 1971, pričel honorarno poučevati na tej gimnaziji v šol.letu 1973/74, se v šol. letu 1976/77 zaposlil kot učitelj matematike, leta 1978 diplomiral iz pedagoške matematike pri dr. Niku Prijatelju s temo Galoisova teorija. Na gimnaziji in poklicni kovinarski šoli učil matematiko, fiziko in računalništvo ter informatiko, dokumentaristiko in arhivistiko. Dolgoletni mentor šahovskega, fotografskega, fizikalnega, računalniškega in<a \href{http://www2.arnes.si/48/sscrnomelj/astro.html}{ astronomskega} krožka. Absolvent 3. stopnje pedagoške fizike, v 90. letih član skupine za prenovo gimnazijske fizike, avtor programske opreme za merilno krmilni vmesnik, soavtor učbenikov za gimnazijo Fizika-Mehanika in Fizika-Elektrika. Mentor trinajstim raziskovalnim nalogam v okviru Gibanja Znanost mladini ter trem raziskovalnim nalogam v okviru Krkinih nagrad in številnim tekmovalcem iz logike, matematike, fizike in računalništva. Mentor \href{http://www2.arnes.si/48/ssnmcrnom5/sola/}{2. spletne strani šole}, pobudnik in od 2007 do 2010 urednik spletnih učilnic Srednje šole Črnomelj. Pobudnik šolske Facebook strani. Več najdete na njegovi \href{http://vincenc.petruna.com/}{spletni strani.}

8 thoughts on “Sangaku(4)”

    • Prvi polmer je Andrejev, drugi pa moj:
      R=0.1830127018922193233818615853764680917357013134525951
      R=0.1830127018922193233818615853764680917357…

      Bravo Andrej, upam, da se strinjaš, da je naloga zrlo zanimiva. Bojim se le, da ne prestrašiš koga s tako velikim številom, saj je iskani polmer rešitev kvadrante enačbe, kar daje nalogi še poseben čar. Tako WolframAlphe sploh ni treba kurblati, vse gre na žgance…:-)Zaradi trigonometrije in razcepljanja polinoma 4. stopnje spada naloga nekam v 3. letnik…. še vedno rabimo točen rezultat, a Andrej, prepustiva to mlajšim…:-)

  2. Andrej, kaj pa pravi tvoje inženirsko oko o kotu med poševnico iz spodnjega levega oglišča in osnovnico kvadrata?

  3. Skica: http://premetanke.blogspot.com/2012/02/sangaku-4.html (lahko neposredno vključim sliko?)

    Oglejmo si pravokotni trikotnik v sredini. Iz skice vidimo, da je hipotenuza dolga 4R, daljša kateta pa je 1-2R, krajša pa x.

    Podobni mali trikotnik spodaj pa ima krajšo kateto R, hipotenuzo pa x. Velja torej razmerje:
    x/R= 4R/x

    ter iz tega x=2R

    Iz tega hitro razberemo kot

    alfa = arcsin(R/(2R)=30^o.

    V velikem pravokotnem trikotniku pa imamo:

    (4R)^2=(1-2R)^2+(2R)^2

    ali drugače

    8R^2+4R-1=0

    rešimo kvadratno enačbo in vzamemo pozitivno rešitev

    R = (sqrt(3)-1)/4.

  4. Glede vstavljanja skic v komentarje, kaže, da (še) ne gre. A ker je vse na vtičnike, upam, da bom našel kak vtičnik tudi za to….:-)
    Grede postopka reševanja – zanimivo je, da obstaja več različnih načinov. Sam sem izbral za neznanki polmer kroga in kot x med poševnico v spodnjem levem oglišču in osnovnico. Prvo enačbo dobim iz tvoje lomljene nčrte na skici:
    2R+4R\cos{x}=1,

    drugo pa izbezam iz spodnjega desnega štirikotnika, ki ima vodoravno stranico

        \[1-\tan{x}.\]

    Dobim

        \[2R=(1-\tan{x})\cos{x}=\cos{x}-\sin{x}\]

    Potem pa ti enačbi rešim!

    • …tudi meni je tvoj način bolj všeč, ker je bolj elementaren…in v tem je čar teh sangakujev, da so nekateri rešljivi na različne načine in na različni ravni zahtevnosti…
      …snežinke?…kje je še prvi pomladni dan…:)

Komentiranje zaprto.