Razdalja točke od premice(2)

Poglejmo še v prostor. Naj bo premica \(p\) podana v kanonični obliki

\[\frac{x-a_1}{b_1-a_1}=\frac{y-a_2}{b_2-a_2}=\frac{z-a_3}{b_3-a_3}.\]

Pri tem sta \(A(a_1,a_2,a_3\) in \(B(b_1,b_2,b_3)\)  fiksni točki na premici \(p\), \(X((x,y,z\) pa poljubna točka na njej. Naj bo v prostoru še točka \(T_o(x_o,y_o,z_o),\) katere razdalja od premice \(p\) nas zanima.

Iz skice vidimo, da je iskana razdalja \(d\) višina paralelograma, ki ga oklepata vektor \(\vec{p}\) na premici \(\vec{p}=\vec{r_B}-\vec{r_A}\) in vektor \(\overrightarrow{AT_o}=\vec{r_{T_o}}-\vec{r_A}.\) Upoštevamo, da je ploščina paralelograma enaka absolutni vrednosti vektorskega produkta ustreznih vektorjev, pa dobimo

\[d(T_o,p)=\frac{|\vec{p}\times\overrightarrow{AT_o}|}{|\vec{p}|}.\]

Primer: Kolikšna je razdalja med točko \(T_o(1,1,-1)\) od premice \(x=y=z?\)

Rešitev: Iz enačbe premice preberemo \(A(0,0,0)\), \(\vec{p}=(1,1,1)\) in \(|\vec{p}|=\sqrt{3}.\)Potem je \(\overrightarrow{AT_o}=(1,1,-1),  \vec{p}\times\overrightarrow{AT_o}=(-2,2,0)\)  in \( |\vec{p}\times\overrightarrow{AT_o}|=\sqrt{8}.\) Iskana razdalja je torej \[d=\sqrt{\frac{8}{3}}.\]

Ta vnos je objavil Vinc v Matematika. Dodaj zaznamek do trajne povezave .

O Vinc

Končal gimnazijo v Črnomlju 1971, pričel honorarno poučevati na tej gimnaziji v šol.letu 1973/74, se v šol. letu 1976/77 zaposlil kot učitelj matematike, leta 1978 diplomiral iz pedagoške matematike pri dr. Niku Prijatelju s temo Galoisova teorija. Na gimnaziji in poklicni kovinarski šoli učil matematiko, fiziko in računalništvo ter informatiko, dokumentaristiko in arhivistiko. Dolgoletni mentor šahovskega, fotografskega, fizikalnega, računalniškega in<a \href{http://www2.arnes.si/48/sscrnomelj/astro.html}{ astronomskega} krožka. Absolvent 3. stopnje pedagoške fizike, v 90. letih član skupine za prenovo gimnazijske fizike, avtor programske opreme za merilno krmilni vmesnik, soavtor učbenikov za gimnazijo Fizika-Mehanika in Fizika-Elektrika. Mentor trinajstim raziskovalnim nalogam v okviru Gibanja Znanost mladini ter trem raziskovalnim nalogam v okviru Krkinih nagrad in številnim tekmovalcem iz logike, matematike, fizike in računalništva. Mentor \href{http://www2.arnes.si/48/ssnmcrnom5/sola/}{2. spletne strani šole}, pobudnik in od 2007 do 2010 urednik spletnih učilnic Srednje šole Črnomelj. Pobudnik šolske Facebook strani. Več najdete na njegovi \href{http://vincenc.petruna.com/}{spletni strani.}