Razdalja točke od premice(1)

Razdalja točke od premice v ravnini je poglavje, ki je iz slovenskih učbenikov izginilo pred nekako tridesetimi leti. Pred tem ga najdemo v Križaničevih učbenikih z izpeljavo, ki se mi ne zdi najbolj posrečena. Morda bi bilo bolje ravnati takole:

Primerjajmo najprej obliko enačbe premice skozi točki $T_1(x_1,y_1)$ in $T_2(x_2,y_2)$ ter njeno implicitno obliko

$ax+by+c=0.$

. Spremenimo prvo obliko

$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}{(x-x_1)}$

v drugo, pa po ureditvi dobimo

$(y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+x_1y_2-x_2y_1=0.$

Opazimo, da je

$y_1-y_2=a,\quad x_2-x_1=b$

$x_1y_2-x_2y_1=c.$

Te zveze bomo uporabili pri izpeljavi razdalje točke od premice.

Sedaj pa k nalogi: Imejmo v ravnini premico p, ki je podana v implicitni obliki $ax+by+c=0$ . Poleg tega imejmo še točko $T_o(x_o,y_o)$ in radi bi določili razdaljo $d(T_o,p)$ te točke od premice, kot je razvidno na skici:

Izberimo na tej premici poljubni točki $T_1(x_1,y_1)$ in $T_2(x_2,y_2)$ . Opazimo, da točke $T_o, T_1$ in $T_2$ tvorijo oglišča trikotnika in iskana razdalja $d$ je ravno višina trikotnika. Višino pa lahko dobimo iz ploščine trikotnika, to pa znamo izračunati. Torej lahko zapišemo