Razdalja točke od premice v ravnini je poglavje, ki je iz slovenskih učbenikov izginilo pred nekako tridesetimi leti. Pred tem ga najdemo v Križaničevih učbenikih z izpeljavo, ki se mi ne zdi najbolj posrečena. Morda bi bilo bolje ravnati takole:

Primerjajmo najprej obliko enačbe premice skozi  točki \(T_1(x_1,y_1)\) in \(T_2(x_2,y_2)\) ter njeno implicitno obliko \[ax+by+c=0.\].  Spremenimo prvo obliko \[y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}{(x-x_1)}\] v drugo, pa po ureditvi  dobimo

\[(y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+x_1y_2-x_2y_1=0.\]

Opazimo, da je \[y_1-y_2=a,\quad x_2-x_1=b\] in \[x_1y_2-x_2y_1=c.\]  Te zveze bomo uporabili pri izpeljavi razdalje točke od premice.

Sedaj pa k nalogi: Imejmo  v ravnini premico p, ki je podana v implicitni obliki \(ax+by+c=0\). Poleg tega imejmo še točko \(T_o(x_o,y_o)\) in radi bi določili razdaljo \(d(T_o,p)\) te točke od premice, kot je razvidno na skici:

Izberimo na tej premici poljubni točki \(T_1(x_1,y_1)\) in \(T_2(x_2,y_2)\). Opazimo, da točke \(T_o, T_1\) in \(T_2\) tvorijo oglišča trikotnika in iskana razdalja \(d\) je ravno višina trikotnika. Višino pa lahko  dobimo iz ploščine trikotnika, to pa znamo izračunati. Torej lahko zapišemo

\[d(T_o,p)=\frac{2S}{d(T_1,T_2)},\]

pri čemer je \[S=\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}x_1-x_o&y_1-y_o\\x_2-x_o&y_2-y_o\end{Vmatrix}\] ploščina trikotnika,

\[d(T_1,T_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{a^2+b^2}\]

pa dolžina osnovnice trikotnika, torej razdalja med točkama  \(T_1(x_1,y_1)\) in \(T_2(x_2,y_2)\).  Torej je

\[d(To,p)=\frac{|x_1y_2+x_oy_o-x_1y_o-x_oy_2-x_2y_1-x_oy_o+x_2y_o+x_oy_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]

Ko uredimo še števec, dobimo ravno

\[d(T_o,p)=\frac{|ax_o+by_o+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]

kar je iskani obrazec.  Opazimo lahko, da je premica z enačbo \(ax+by+c=0\) od izhodišča koordinatnega sistema oddaljena za

\[\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]