Potenca točke na krožnico - Vincenc Petruna, SlovenijaVincenc Petruna, Slovenija

Imejmo v ravnini krožnico K s središčem S in polmerom r ter poljubno točko O. Potenca točke je definirana takole:

Def.:Potenca $\mathcal{P}(O,\mathcal{K})[$ točke O na krožnico $\cal{K}$ je število $\overrightarrow{OS}\cdot\overrightarrow{OS}-r^2.$ Torej

$\mathcal{P}(O,\mathcal{K})=\overrightarrow{OS}\cdot\overrightarrow{OS}-r^2.$

Vidimo, da je zaloga vrednosti te preslikave enaka $\left [-r^2,\infty \right ).$ Točke izven kroga, ki ga omejuje krožnica $\mathcal{K}$ , imajo potenco pozitivno, tiste znotraj pa negativno.

[embedit cf=” “]

Dokaz: Opazimo, da sta trikotnika OAD in OCB podobna, saj imata en kot skupen, drugi par kotov pa ima za zumanja obodna kota nad istim lokom. Zato velja sorazmerje med enakoležnimi stranicami

$\frac{\overline{OA}}{\overline{OC}}=\frac{\overline{OD}}{\overline{OB}},$
od tod pa sledi iskana enakost.