Posplošitev neke naloge

V Quori je bila objavljena naslednja naloga:

Poišči vse take peterke naravnih števil $(a,b,c,d,e)$, ki zadoščajo enačbi $$abcde=a+b+c+d+e.$$

Tam najdete tudi njeno rešitev.

Andrej pa je to nalogo posplošil takole:

Pokaži, da ima za vsak n enačba $$x_1x_2\dots x_n=x_1+x_2+\dots +x_n$$ (do permutacij natanlčno) vsaj eno rešitev $(x_1,x_2,\dots x_n)$, pri tem pa so vsi $x_i$ naravna števila.

Odgovor na njegovo vprašanje sem preformuliral  takole:

Izrek: Za poljubno naravno število $n>1$ ima enačba $$x_1x_2\dots x_n=x_1+x_2+\dots +x_n$$ vsaj $n(n-1)$ rešitev takih, da so komponente naravna števila. Dobimo jih, če permutiramo komponente n-terice  $(1,1,\dots 1,2,n)$.

Dokaz:  Če je $n=2,$ zapišemo enačbo kot

$$x_1x_2-x_1-x_2=0.$$

Prištejemo na obeh straneh enačbe $1$ in nato razcepimo levo stran. Dobimo

$$(x_1-1)(x_2-1)=1.$$

Od tod dobimo rešitev $x_1=x_2=2$.

Za splošen n pa ravnamo takole: Ker je enačba  $$x_1x_2\dots x_n=x_1+x_2+\dots +x_n$$ homogena, brez škode za splošnost vzamemo $x_1\leq x_2 \leq \dots \leq x_n.$ Najprej obdelamo možnost, da so vsi $x_i$ enaki. Dobimo enačbo

$$x_n^n=nx_n$$

in iz nje $$x_n^{n-1}-n=0,$$

ki nima naravnih rešitev. Torej možnost enakih $x_i$-jev odpade. Preostane torej

$$x_1x_2\dots x_n< nx_n$$

in po deljenju z $x_n$

$$2\leq x_1x_2\dots x_{n-1}\leq n-1.$$

Produkt $ x_1x_2\dots x_{n-1}$ je torej enak nekemu naravnemu številu $a$ med vključno $2$ in $n-1$.

Za $a=2$ dobimo

$ x_1x_2\dots x_{n-1}=2.$

Vzemimo npr. $x_{n-1}=2.$ Potem morajo biti $x_1=x_2=\dots=x_{n-2}=1,$ od koder dobimo $x_n=n.$

Rešitve enačbe v množici naravnih števil so torej vse permutacije komponent n-terice $$(1,1,\dots 1,2,n),$$ teh pa je $n(n-1).$

 

 

Ta vnos je objavil Vinc v Razno. Dodaj zaznamek do trajne povezave .

O Vinc

Končal gimnazijo v Črnomlju 1971, pričel honorarno poučevati na tej gimnaziji v šol.letu 1973/74, se v šol. letu 1976/77 zaposlil kot učitelj matematike, leta 1978 diplomiral iz pedagoške matematike pri dr. Niku Prijatelju s temo Galoisova teorija. Na gimnaziji in poklicni kovinarski šoli učil matematiko, fiziko in računalništvo ter informatiko, dokumentaristiko in arhivistiko. Dolgoletni mentor šahovskega, fotografskega, fizikalnega, računalniškega in<a \href{http://www2.arnes.si/48/sscrnomelj/astro.html}{ astronomskega} krožka. Absolvent 3. stopnje pedagoške fizike, v 90. letih član skupine za prenovo gimnazijske fizike, avtor programske opreme za merilno krmilni vmesnik, soavtor učbenikov za gimnazijo Fizika-Mehanika in Fizika-Elektrika. Mentor trinajstim raziskovalnim nalogam v okviru Gibanja Znanost mladini ter trem raziskovalnim nalogam v okviru Krkinih nagrad in številnim tekmovalcem iz logike, matematike, fizike in računalništva. Mentor \href{http://www2.arnes.si/48/ssnmcrnom5/sola/}{2. spletne strani šole}, pobudnik in od 2007 do 2010 urednik spletnih učilnic Srednje šole Črnomelj. Pobudnik šolske Facebook strani. Več najdete na njegovi \href{http://vincenc.petruna.com/}{spletni strani.}

2 thoughts on “Posplošitev neke naloge

Komentiranje zaprto.