Posplošitev neke naloge

V Quori je bila objavljena naslednja naloga:

Poišči vse take peterke naravnih števil (a,b,c,d,e), ki zadoščajo enačbi

    \[abcde=a+b+c+d+e.\]

Tam najdete tudi njeno rešitev.

Andrej pa je to nalogo posplošil takole:

Pokaži, da ima za vsak n enačba

    \[x_1x_2\dots x_n=x_1+x_2+\dots +x_n\]

(do permutacij natanlčno) vsaj eno rešitev (x_1,x_2,\dots x_n), pri tem pa so vsi x_i naravna števila.

Odgovor na njegovo vprašanje sem preformuliral  takole:

Izrek: Za poljubno naravno število n>1 ima enačba

    \[x_1x_2\dots x_n=x_1+x_2+\dots +x_n\]

vsaj n(n-1) rešitev takih, da so komponente naravna števila. Dobimo jih, če permutiramo komponente n-terice  (1,1,\dots 1,2,n).

Dokaz:  Če je n=2, zapišemo enačbo kot

    \[x_1x_2-x_1-x_2=0.\]

Prištejemo na obeh straneh enačbe 1 in nato razcepimo levo stran. Dobimo

    \[(x_1-1)(x_2-1)=1.\]

Od tod dobimo rešitev x_1=x_2=2.

Za splošen n pa ravnamo takole: Ker je enačba  

    \[x_1x_2\dots x_n=x_1+x_2+\dots +x_n\]

 homogena, brez škode za splošnost vzamemo x_1\leq x_2 \leq \dots \leq x_n. Najprej obdelamo možnost, da so vsi x_i enaki. Dobimo enačbo

    \[x_n^n=nx_n\]

in iz nje

    \[x_n^{n-1}-n=0,\]

ki nima naravnih rešitev. Torej možnost enakih x_i-jev odpade. Preostane torej

    \[x_1x_2\dots x_n< nx_n\]

in po deljenju z x_n

    \[2\leq x_1x_2\dots x_{n-1}\leq n-1.\]

Produkt  x_1x_2\dots x_{n-1} je torej enak nekemu naravnemu številu a med vključno 2 in n-1.

Za a=2 dobimo

 x_1x_2\dots x_{n-1}=2.

Vzemimo npr. x_{n-1}=2. Potem morajo biti x_1=x_2=\dots=x_{n-2}=1, od koder dobimo x_n=n.

Rešitve enačbe v množici naravnih števil so torej vse permutacije komponent n-terice

    \[(1,1,\dots 1,2,n),\]

teh pa je n(n-1).

 

 

Ta vnos je objavil Vinc v Razno. Dodaj zaznamek do trajne povezave .

O Vinc

Končal gimnazijo v Črnomlju 1971, pričel honorarno poučevati na tej gimnaziji v šol.letu 1973/74, se v šol. letu 1976/77 zaposlil kot učitelj matematike, leta 1978 diplomiral iz pedagoške matematike pri dr. Niku Prijatelju s temo Galoisova teorija. Na gimnaziji in poklicni kovinarski šoli učil matematiko, fiziko in računalništvo ter informatiko, dokumentaristiko in arhivistiko. Dolgoletni mentor šahovskega, fotografskega, fizikalnega, računalniškega in<a \href{http://www2.arnes.si/48/sscrnomelj/astro.html}{ astronomskega} krožka. Absolvent 3. stopnje pedagoške fizike, v 90. letih član skupine za prenovo gimnazijske fizike, avtor programske opreme za merilno krmilni vmesnik, soavtor učbenikov za gimnazijo Fizika-Mehanika in Fizika-Elektrika. Mentor trinajstim raziskovalnim nalogam v okviru Gibanja Znanost mladini ter trem raziskovalnim nalogam v okviru Krkinih nagrad in številnim tekmovalcem iz logike, matematike, fizike in računalništva. Mentor \href{http://www2.arnes.si/48/ssnmcrnom5/sola/}{2. spletne strani šole}, pobudnik in od 2007 do 2010 urednik spletnih učilnic Srednje šole Črnomelj. Pobudnik šolske Facebook strani. Več najdete na njegovi \href{http://vincenc.petruna.com/}{spletni strani.}

2 odziva na “Posplošitev neke naloge

Dodaj odgovor

Vaš e-naslov ne bo objavljen. * označuje zahtevana polja

* Copy This Password *

* Type Or Paste Password Here *