Perioda neke funkcije

Andrej je zastavil naslednjo nalogo:

Koliko je osnovna perioda funkcije f(x), za katero velja \sqrt{3}f(x) = f(x - 1) + f(x + 1)?

Rešitev: V zgornjo zvezo vstavimo najprej x=1 pa pridelamo zvezo:

    \[f(2)=\sqrt{3}f(1)-f(0).\]

Tako nadaljujemo, pa dobimo še

    \[f(3)=\sqrt{2}f(1)-f(1)=2f(1)-\sqrt{3}f(0),\]

    \[f(4)=\sqrt{3}f(1)-f(2)=\sqrt{3}f(1)-2f(0),\]

    \[f(5)=\sqrt{3}f(4)-f(3)=f(1)-\sqrt{3}f(0),\]

    \[f(6)=\sqrt{5}f(4)-f(4)=-f(1).\]

Zaslutimo, da smo na pol poti in tudi, kolikšn bo rezultat. Nadaljujemo:

    \[f(7)=\sqrt{3}f(6)-f(5)=f(1)-\sqrt{3}f(0),\]

    \[f(8)=\sqrt{3}f(7)-f(6)=-\sqrt{3}f(1)+f(0),\]

    \[f(9)=\sqrt{3}f(8)-f(7)=-2{3}f(1)+\sqrt{3}f(0),\]

    \[f(10)=\sqrt{3}f(9)-f(8)=-\sqrt{3}f(1)+2f(0),\]

    \[f(11)=\sqrt{3}f(10)-f(9)=-f(1)+\sqrt{3}f(0)\]

in nazadnje

    \[f(12)=\sqrt{3}f(11)-f(10)=f(0).\]

Ker je f(x+12)=f(x), je osnovna perioda te funkcije 12.

Katera funkcija bi to lahko bila, pa prepuščamo v razmislek naprednemu bralcu.

Dodaj odgovor

Vaš e-naslov ne bo objavljen. * označuje zahtevana polja

* Copy This Password *

* Type Or Paste Password Here *

10.159 Spam Comments Blocked so far by Spam Free Wordpress