Perioda neke funkcije

Andrej je zastavil naslednjo nalogo:

Koliko je osnovna perioda funkcije \(f(x), \) za katero velja \(\sqrt{3}f(x) = f(x – 1) + f(x + 1)\)?

Rešitev: V zgornjo zvezo vstavimo najprej $x=1$ pa pridelamo zvezo:

$$f(2)=\sqrt{3}f(1)-f(0).$$

Tako nadaljujemo, pa dobimo še

$$f(3)=\sqrt{2}f(1)-f(1)=2f(1)-\sqrt{3}f(0),$$

$$f(4)=\sqrt{3}f(1)-f(2)=\sqrt{3}f(1)-2f(0),$$

$$f(5)=\sqrt{3}f(4)-f(3)=f(1)-\sqrt{3}f(0),$$

$$f(6)=\sqrt{5}f(4)-f(4)=-f(1).$$

Zaslutimo, da smo na pol poti in tudi, kolikšn bo rezultat. Nadaljujemo:

$$f(7)=\sqrt{3}f(6)-f(5)=f(1)-\sqrt{3}f(0),$$

$$f(8)=\sqrt{3}f(7)-f(6)=-\sqrt{3}f(1)+f(0),$$

$$f(9)=\sqrt{3}f(8)-f(7)=-2{3}f(1)+\sqrt{3}f(0),$$

$$f(10)=\sqrt{3}f(9)-f(8)=-\sqrt{3}f(1)+2f(0),$$

$$f(11)=\sqrt{3}f(10)-f(9)=-f(1)+\sqrt{3}f(0)$$

in nazadnje

$$f(12)=\sqrt{3}f(11)-f(10)=f(0).$$

Ker je $f(x+12)=f(x),$ je osnovna perioda te funkcije $12.$

Katera funkcija bi to lahko bila, pa prepuščamo v razmislek naprednemu bralcu.